¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖ
( ›Ö. †¾Ö¬Öê¿Ö ®ÖÖ¸ÖµÖÞÖ ×ÃÖÓÆ,
»ÖÜÖ®Ö‰ú
µÖæ®Öß¾Ö×ÃÖÔ™ß, Ûê »ÖêÜÖÛúÖ
†®Öã¾ÖÖ¤ )
µÖÆ ×¾ÖפŸÖ ÆÖê “ÖãÛúÖ Æî ×Ûú ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´ÖêÓ
ÝÖ×ÞÖŸÖ- †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ, ²Öß•ÖÝÖ×ÞÖŸÖ, õÖê¡Ö×´Ö×ŸÖ †ÖפÛúÖ †¬µÖµÖ®Ö †×ŸÖ ¯ÖÎÖ“Öß®Ö
ÛúÖ»Ö´ÖêÓ ×ÛúµÖÖ •ÖÖŸÖÖ £ÖÖ | ‡ÃÖ ²ÖÖŸÖÛúÖ ³Öß †“”ß ŸÖ¸Æ ¯ÖŸÖÖ “Ö»Ö ÝÖµÖÖ
Æî ×Ûú ¯ÖÎÖ“Öß®Ö ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖßÔµÖ
ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖêÓ®Öê ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáִÖêÓ šÖêÃÖ
†Öî¸ ÃÖÖ¸ÝÖ׳ÖÔŸÖ ˆ®®Ö×ŸÖ Ûúß £Öß
| µÖ£ÖÖ£ÖÔŸÖ: †¾ÖÖÔ“Öß®Ö †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ †Öî¸ ²Öß•ÖÝÖ×ÞÖŸÖÛê •Ö®´Ö¤ÖŸÖÖ ¾Öê Æß £Öê
| Æ´ÖêÓ µÖÆ ÃÖÖê“Ö®ÖêÛúÖ †³µÖÖÃÖ ÆÖê ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔÛúß ×¾Ö¿ÖÖ»Ö
•Ö®ÖÃÖÓܵÖÖ´ÖêÓÃÖê Ûê¾Ö»Ö ×ÆÓ¤ã†Öê®Öê Æß ÝÖ×ÞÖŸÖÛúÖ †¬µÖµÖ®Ö ×ÛúµÖÖ, †Öî¸ ˆ®ÆêÓ
Æß ‡ÃÖ ×¾ÖÂÖµÖ´Öê ¹ý×“Ö £Öß, †Öî¸ ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖßÔµÖ •Ö®ÖÃÖÓܵÖÖÛê †®µÖ ³ÖÖÝÖÖÓê,
•ÖîÃÖê ×Ûú ²ÖÖ ¾Ö •Öî®ÖÖê®Öê, ˆÃÖ¯Ö¸
×¾Ö¿ÖêÂÖ ¬µÖÖ®Ö ®ÖÆßÓ ×¤µÖÖ | ×¾Ö«Ö®ÖÖêÓÛê ‡ÃÖ ´ÖŸÖÛúÖ ÛúÖ¸ÞÖ µÖÆ Æî ×Ûú †³Öß
†³Öß ŸÖÛú ²ÖÖ ¾ÖÖ •Öî®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖêÓ«Ö¸Ö ×»ÖÜÖê ÝÖµÖê ÛúÖê‡Ô ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê
ÝÖή£Ö –ÖÖŸÖ ®ÖÆßÓ Æã‹ £Öê | ×Ûú®ŸÖã •Öî×®ÖµÖÖêÓÛê †ÖÝÖ´ÖÝÖή£ÖÖêÓÛê
†¬µÖµÖ®ÖÃÖê ¯ÖÎÛú™ ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúÖ •Öî×®ÖµÖÖêÓ´Öê ³Öß ÜÖæ²Ö †Ö¤¸ £ÖÖ | µÖ£ÖÖ£ÖÔŸÖ: ÝÖ×ÞÖŸÖ †Öî¸
•µÖÖêןÖÂÖ ×¾ÖªÖÛúÖ –ÖÖ®Ö •Öî®Ö
´Öã×®ÖµÖÖêÛúß ‹Ûú ´ÖãÜµÖ ÃÖÖ¬Ö®ÖÖ ÃÖ´Ö—Öß •ÖÖŸÖß £Öß |
†²Ö Æ´Öë µÖÆ ×¾ÖפŸÖ ÆÖê “ÖãÛúÖ Æî ×Ûú
•Öî×®ÖµÖÖêÓÛúß ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúß ‹Ûú ¿ÖÖÜÖÖ ¤×õÖÞÖ ³ÖÖ¸ŸÖ´ÖêÓ £Öß, †Öî¸ ‡ÃÖ
¿ÖÖÜÖÖÛúÖ Ûú´ÖÃÖê Ûú´Ö ‹Ûú ÝÖή£Ö, ´ÖÆÖ¾Ö߸֓ÖÖµÖÔ-ÛéúŸÖ ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆ,
ˆÃÖ ÃÖ´ÖµÖÛúß †®µÖ ˆ¯Ö»Ö²¬Ö
ÛéúןֵÖÖêÓÛúß †¯ÖêõÖÖ †®ÖêÛú ²ÖÖŸÖÖêÓ´Öê ÁÖêš Æî | ´ÖÆÖ¾Ö߸֓ÖÖµÖÔÛúß
¸“Ö®ÖÖ ÃÖ®ÖË 850 Ûúß Æî | ˆ®ÖÛúÖ µÖÆ ÝÖή£Ö ÃÖÖ´ÖÖ®µÖ ¹ý¯Ö¸êÜÖÖ´ÖêÓ ²ÖÎÉÝÖ㯟Ö,
ÁÖָ߬֓ÖÖµÖÔ, ³ÖÖÃÛú¸ †Öî¸ †®µÖ ×Æ®¤æ ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖêÓÛê ÝÖή£ÖÖêÓÛê ÃÖ´ÖÖ®Ö
ÆÖêŸÖê Æã‹ ³Öß ×¾Ö¿ÖêÂÖ ²ÖÖŸÖÖêÓ´Öê ˆ®ÖÃÖê ¯ÖæÞÖÔŸÖ: ׳֮®Ö Æî | ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ-
ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆÛê ¯Öο®Ö ( problems )
¯ÖÎÖµÖ: ÃÖ³Öß ¤æÃÖ¸ê ÝÖή£ÖÖêÓÛê ¯Öο®ÖÖêÓÃÖê ׳֮®Ö ÆîÓ |
¾ÖŸÖÔ´ÖÖ®ÖÛúÖ»Ö´ÖêÓ
ˆ¯Ö»Ö²¬Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ÃÖÖ×ÆŸµÖÛê †Ö¬ÖÖ¸¯Ö¸ÃÖê Æ´Ö µÖÆ ÛúÆ ÃÖÛúŸÖê Æî
×Ûú ÝÖ×ÞÖ¿ÖÖáÖÛúß ´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ¿ÖÖÜÖÖ‹Ó ¯ÖÖ™×»Ö¯Öã¡Ö (¯Ö™®ÖÖ), ´ÖîÃÖæ¸,
´Ö»Ö¾ÖÖ¸ †Öî¸ ÃÖÓ³Ö¾ÖŸÖ: ²Ö®ÖÖ¸ÃÖ, ŸÖõÖ׿ֻÖÖ †Öî¸ Ûãú” †®µÖ ãÖÖ®ÖÖêÓ´ÖêÓ
ˆ®®ÖןֿÖᯙ £Öß | •Ö²Ö ŸÖÛú †ÖÝÖê ¯ÖδÖÖÞÖ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ®Ö ÆÖê, ŸÖ²Ö ŸÖÛú µÖÆ
×®Ö¿“ÖµÖ¯Öæ¾ÖÔÛú ®ÖÆßÓ ÛúÆÖ •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ ×Ûú ‡®Ö ¿ÖÖÜÖÖ†ÖêÓ´ÖêÓ ¯Ö¸Ã¯Ö¸ ŒµÖÖ
ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö £ÖÖ |
--------------------------------
1 ¤êÜÖÖê-³ÖÝÖ¾ÖŸÖß ÃÖæ¡Ö,
†³ÖµÖ¤ê¾Ö ÃÖæ׸Ûúß ™ßÛúÖ ÃÖ×ÆŸÖ, ´ÆêÃÖÖÞÖÖÛúß †ÖÝÖ´ÖÖê¤µÖ ÃÖ×´Ö×ŸÖ «Ö¸Ö
¯ÖÎÛúÖ׿֟Ö, 1919, ÃÖæ¡Ö 90 | •ÖîÛúÖê²Öß ÛéúŸÖ ˆ¢Ö¸Ö¬µÖ®Ö ÃÖæ¡ÖÛúÖ
†ÓÝÖÎê•Öß †®Öã¾ÖÖ¤, †ÖòŒÃÖ±úÖê›Ô
1895, †¬µÖÖµÖ 7, 8, 38.
--------------------------------
×±ú¸ ³Öß Æ´ÖêÓ ¯Ö¢ÖÖ “Ö»ÖŸÖÖ Æî ×Ûú ׳֮®Ö ׳֮®Ö
¿ÖÖÜÖÖ†ÖêÓÃÖê †ÖµÖê Æã‹ ÝÖή£ÖÖÓêÛúß ÃÖÖ´ÖÖ®µÖ ¹ý¯Ö¸êÜÖÖ ŸÖÖê ‹ÛúÃÖß ÆîÓ,
×Ûú®ŸÖã ×¾ÖßÖÖ¸ÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ×¾Ö¿ÖêÂÖ ²ÖÖŸÖÖêÓ´ÖêÓ ˆ®Ö´ÖêÓ ×¾Ö׳֮®ÖŸÖÖ Æî |
‡ÃÖÃÖê ¯ÖŸÖÖ “Ö»ÖŸÖÖ Æî ×Ûú ׳֮®Ö ׳֮®Ö ¿ÖÖÜÖÖ†ÖêÓ´ÖêÓ †Ö¤Ö®Ö-¯ÖΤ֮ÖÛúÖ
ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö £ÖÖ, ”Ö¡ÖÝÖÞÖ †Öî¸ ×¾Ö«Ö®Ö ‹Ûú ¿ÖÖÜÖÖÃÖê ¤æÃÖ¸ß ¿ÖÖÜÖÖ´ÖêÓ ÝÖ´Ö®Ö
Ûú¸ŸÖê £Öê, †Öî¸ ‹Ûú ãÖÖ®Ö´ÖêÓ ×ÛúµÖê ÝÖµÖê †×¾ÖÂÛúÖ¸ ¿Öß‘ÖÎ Æß ³ÖÖ¸ŸÖÛê ‹Ûú
ÛúÖê®ÖêÃÖê ¤æÃÖ¸ê ÛúÖê®Öê ŸÖÛú ×¾Ö–ÖÖ×¯ÖŸÖ Ûú¸ פµÖê •ÖÖŸÖê £Öê |
¯ÖΟÖߟÖ
ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú ²ÖÖ ¬Ö´ÖÔ †Öî¸ •Öî®Ö ¬Ö´ÖÔÛê ¯ÖΓÖÖ¸®Öê ×¾Ö×¾Ö¬Ö ×¾Ö–ÖÖ®ÖÖêÓ
†Öî¸ Ûú»ÖÖ†ÖêÓÛê †¬µÖµÖ®ÖÛúÖê ˆ¢Öê•Ö®ÖÖ ¤ß | ÃÖÖ´ÖÖ®µÖŸÖ: ÃÖ³Öß ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖßÔµÖ ¬ÖÖ×´ÖÔÛú
ÃÖÖ×ÆŸµÖ,†Öî¸ ´Öãֵܵ֟ÖÖ ²ÖÖ
¾Ö •Öî®ÖÃÖÖ×ÆŸµÖ, ²Ö›ß ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê ˆ»»ÖêÜÖÖêÓÃÖê ¯Ö׸¯ÖæÞÖÔ Æî |
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê ¯ÖεÖÖêÝÖ®Öê ˆ®Ö
ÃÖܵÖÖ†ÖêÓÛúÖ ×»ÖÜÖ®ÖêÛê ×»ÖµÖê ÃÖ¸»Ö ÃÖÓÛêŸÖÖêÓÛúß †Ö¾Ö¿µÖÛúŸÖÖ ˆŸ¯Ö®®Ö Ûúß,
†Öî¸ ˆÃÖßÃÖê ¤Ö¿Ö×´ÖÛú Û뫅 ( The place value system of notation ) ÛúÖ
†Ö×¾ÖÂÛúÖ¸ Æã†Ö | †²Ö µÖÆ ²ÖÖŸÖ ×®ÖÃÃÖÓ¿ÖµÖ¹ý¯ÖÃÖê ×ÃÖ¬¤ ÆÖê “ÖãÛúß Æî ×Ûú
¤Ö¿Ö×´ÖÛú ÛδÖÛúÖ †×Ö¾ÖÂÛúÖ¸ ³ÖÖ¸ŸÖ´ÖêÓ
‡ÔÃÖ¾Öß ÃÖ®ÖËÛê ¯ÖÎÖ¸Ó³Ö ÛúÖ»ÖÛê »ÖÝÖ³ÖÝÖ Æã†Ö £ÖÖ, •Ö²Ö ×Ûú ²ÖÖ¬Ö´ÖÔ †Öî¸
•Öî®Ö¬Ö´ÖÔ †¯Ö®Öß “Ö¸´ÖÖê®®Ö×ŸÖ ¯Ö¸ £Öê
| µÖÆ ®ÖµÖÖ †ÓÛú-Û뫅 ²Ö›Ö ¿Ö׌ŸÖ¿ÖÖ»Öß ×ÃÖ¬¤ Æã†Ö, †Öî¸ ‡ÃÖß®Öê ÝÖ×ÞÖ¿ÖÖáÖÛúß
ÝÖן֯ÖÎ¤Ö®Ö Ûú¸ ÃÖ㻾ÖÃÖæ¡ÖÖêÓ´ÖêÓ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ¾Öê¤ÛúÖ»Öß®Ö ¯ÖÎÖ¸Ó׳ÖÛú
ÝÖ×ÞÖŸÖÛúÖê ×¾ÖÛúÖÃÖÛúß †Öê¸ ²ÖœÖµÖÖ, †Öî¸ ¾Ö¸ÖÆ×´Ö×ƸÛê ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖêÓ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ
¯ÖÖÓ“Ö¾Öß ¿ÖŸÖÖ²¤ß´ÖêÓ ÃÖãÃÖ´¯Ö®®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáִÖêÓ ¯Ö׸¾ÖןÖÔŸÖ Ûú¸ פµÖÖ |
‹Ûú
²Ö›ß ´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ²ÖÖŸÖ, •ÖÖê ÝÖ×ÞÖŸÖÛê ‡×ŸÖÆÖÃÖÛúÖ¸ÖêÓÛúß ¤é™ߴÖêÓ ®ÖÆßÓ
†Ö‡Ô, µÖÆ Æî ×Ûú µÖª×¯Ö ×Æ®¤ã†ÖêÓ ²ÖÖî¨ÖêÓ †Öî¸ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛúÖ ÃÖÖ´ÖÖ®µÖ
ÃÖÖ×ÆŸµÖ ‡ÔÃÖÖÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ ŸÖßÃÖ¸ß ¾Ö “ÖÖî£Öß ¿ÖŸÖÖ²¤ßÃÖê »ÖÝÖÖÛú¸ ´Ö¬µÖÛúÖ»Öß®Ö
ÃÖ´ÖµÖ ŸÖÛú †×¾Öד”®®Ö Æî, ŒµÖÖêÓ×Ûú
¯ÖΟµÖêÛú ¿ÖŸÖÖ²¤ßÛê ÝÖή£Ö ˆ¯Ö»Ö²¬Ö Æî, ŸÖ£ÖÖ×¯Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß
ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ ×¾Ö“”ê¤ Æî, µÖ£ÖÖ£ÖÔŸÖ: ÃÖ®ÖË 499 ´Öê ¸×“ÖŸÖ †ÖµÖԳ֙ߵÖÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛúß ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ¸“Ö®ÖÖ Ûú¤Öד֟ÖË Æß
ÛúÖê‡Ô ÆÖê | †¯Ö¾ÖÖ¤´ÖêÓ ¾ÖÜ¿ÖÖ×»Ö ¯ÖÎ×ŸÖ ( Bakhsali-Manuscript ) ®ÖÖ´ÖÛú ¾ÖÆ
†¯ÖæÞÖÔ ÆßÖ×»Ö×ÜÖŸÖ ÝÖή£Ö Æß Æî •ÖÖê ÃÖÓ³Ö¾ÖŸÖ: ¤æÃÖ¸ß µÖÖ ŸÖßÃÖ¸ß
¿ÖŸÖÖ²¤ßÛúß ¸“Ö®ÖÖ Æî | ×Ûú®ŸÖã ‡ÃÖÛúß ˆ¯Ö»Ö²¬Ö ÆßÖ×»Ö×ÜÖŸÖ ¯ÖÎןÖÃÖê Æ´ÖêÓ
ˆÃÖ ÛúÖ»ÖÛê ÝÖ×ÞÖŸÖ- –ÖÖ®ÖÛúß ×ãÖןÖÛê
×¾ÖÂÖµÖ´ÖêÓ ÛúÖê‡Ô ×¾ÖßÖéŸÖ ¾ÖéŸÖÖ®ŸÖ ®ÖÆßÓ ×´Ö»ÖŸÖÖ, ŒµÖÖêÓ×Ûú µÖ£ÖÖ£ÖÔ´ÖêÓ
¾ÖÆ †ÖµÖÔ³Ö™ ²ÖδÆÝÖã¯ŸÖ †£Ö¾ÖÖ ÁÖָ߬ †ÖפÛê
ÝÖή£ÖÖÓêÛê ÃÖ¤é¿Ö
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúß ¯ÖãßÖÛú ®ÖÆßÓ Æî | ¾ÖÆ Ûãú” “Öã®Öê Æã‹ ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ¯Öο®ÖÖêÓÛúß
¾µÖÖܵÖÖ †£Ö¾ÖÖ ×™¯¯ÖÞÖßÃÖß Æî | ‡ÃÖ ÆßÖ×»Ö×ÜÖŸÖ ¯ÖÎןÖÃÖê Æ´Ö Ûê¾Ö»Ö
‡ŸÖ®ÖÖ Æß †®Öã´ÖÖ®Ö Ûú¸ ÃÖÛúŸÖê ÆîÓ ×Ûú ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛ뫅 †Öî¸ ŸÖŸÃÖÓ²ÖÓ¬Öß
†ÛúÝÖ×ÞÖŸÖÛúß ´Öæ»Ö ¯ÖÎ×ÛεÖÖµÖêÓ ˆÃÖ ÃÖ´ÖµÖ †“”ß ŸÖ¸Æ ×¾ÖפŸÖ £Öß, †Öî¸
¯Öß”êÛê ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖêÓ«Ö¸Ö ˆ×»»Ö×ÜÖŸÖ Ûãú” ¯ÖÎÛúÖ¸Ûê ÝÖ×ÞÖŸÖ ¯Öο®Ö ( problems ) ³Öß –ÖÖŸÖ £Öê |
µÖÆ
¯Öæ¾ÖÔ Æß ²ÖŸÖÖµÖÖ •ÖÖ “ÖãÛúÖ Æî ×Ûú †ÖµÖԳ֙ߵִÖêÓ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖÃ¡Ö ×¾Ö¿ÖêÂÖ
ˆ®®ÖŸÖ Æî, ŒµÖÖêÓ×Ûú ˆÃÖ´ÖêÓ Æ´ÖÛúÖê
×®Ö´®Ö ×»Ö×ÜÖŸÖ ×¾ÖÂÖµÖÖêÓÛúÖ ˆ»»ÖêÜÖ ×´Ö»Ö®ÖÖ Æî- ¾ÖŸÖÔ´ÖÖ®ÖÛúÖ»Öß®Ö
¯ÖÎÖ£Ö×´ÖÛú †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖÛê ÃÖ²Ö ³ÖÖÝÖ ×•Ö®Ö´ÖêÓ †®Öã¯ÖÖŸÖ, ×¾Ö×®Ö´ÖµÖ †Öî¸
¾µÖÖ•ÖÛê ×®ÖµÖ´Ö ³Öß ÃÖ×´´Ö×»ÖŸÖ ÆîÓ, ŸÖ£ÖÖ ÃÖ¸»Ö †Öî¸ ¾ÖÝÖÔ ÃÖ´ÖßÛú¸ÞÖ, †Öî¸
ÃÖ¸»Ö Ûãú¼Ûú ( indeterminate equations )
Ûúß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ŸÖÛúÛúÖ ²Öß•ÖÝÖ×ÞÖŸÖ ³Öß Æî | †²Ö ¯Öο®Ö µÖÆ ˆ¯Ö×Ã£ÖŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî
×Ûú ŒµÖÖ †ÖµÖÔ³Ö™®Öê †¯Ö®ÖÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖ®Ö
×¾Ö¤ê¿ÖÃÖê ÝÖÎÆÞÖ ×ÛúµÖÖ, †£Ö¾ÖÖ •ÖÖê ³Öß Ûãú” ÃÖÖ´ÖÝÖÎß †ÖµÖԳ֙ߵִÖêÓ
†®ŸÖ×ÆÔŸÖ Æî ¾ÖÆ ÃÖ²Ö ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔÛúß Æß
´ÖÖî×»ÖÛú ÃÖ´¯Ö×¢Ö Æî ? †ÖµÖÔ³Ö™ ×»ÖÜÖŸÖê ÆîÓ “²ÖδÆ, ¯Ö飾Öß, “ÖÓ¦, ²Öã¬Ö,
¿ÖæÛÎ, ÃÖæµÖÔ, ´ÖÓÝÖ»Ö, ²ÖéÆïÖןÖ, ¿Ö×®Ö †Öî¸ ®ÖõÖ¡ÖÖêÓÛúÖê ®Ö´ÖÃÛúÖ¸ Ûú¸Ûê
†ÖµÖÔ³Ö™ ˆÃÖ –ÖÖ®ÖÛúÖ ¾ÖÞÖÔ®Ö Ûú¸ŸÖÖ Æî וÖÃÖÛúÖ ×Ûú µÖÆÖÑ ÛãúÃÖã´Ö¯Ö㸴ÖêÓ
†Ö¤¸ ÆîÓ1 | ” ‡ÃÖÃÖê ¯ÖŸÖÖ “Ö»ÖŸÖÖ Æî ×Ûú ˆÃÖ®Öê ×¾Ö¤ê¿ÖÃÖê
Ûãú” ÝÖÎÆÞÖ ®ÖÆßÓ ×ÛúµÖÖ | ¤æÃÖ¸ê
¤ê¿ÖÖêÓÛê ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ‡×ŸÖÆÖÃÖÛê †¬µÖµÖ®ÖÃÖê ³Öß µÖÆß †®Öã´ÖÖ®Ö ÆÖêŸÖÖ Æî,
ŒµÖÖêÓ×Ûú †ÖµÖÔ³Ö™ßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ ÃÖÓÃÖÖ¸Ûê ×ÛúÃÖß ³Öß ¤ê¿ÖÛê ŸÖŸÛúÖ×»Ö®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖê ²ÖÆãŸÖ †ÖÝÖê ²ÖœÖ Æã†Ö £ÖÖ |
×¾Ö¤ê¿ÖÃÖê ÝÖÎÆÞÖ Ûú¸®ÖêÛúß ÃÖÓ³ÖÖ¾Ö®ÖÖÛúÖê ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ ¤æ¸ Ûú¸ ¤ê®Öê ¯Ö¸
¯Öο®Ö ˆ¯Ö×Ã£ÖŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú †ÖµÖÔ³Ö™ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛúÖ»Öß®Ö
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ÛúÖê‡Ô ÝÖή£Ö
ˆ¯Ö»Ö²¬Ö ŒµÖÖê ®ÖÆßÓ Æî ? ‡ÃÖ ¿ÖÓÛúÖÛúÖ ×®Ö¾ÖÖ¸ÞÖ ÃÖ¸»Ö Æî | ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛúÖ
†Ö×¾ÖÂÛúÖ¸ ‡ÔÃÖ¾Öß ÃÖ®ÖËÛê ¯ÖÎÖ¸Ó³Ö ÛúÖ»ÖÛê »ÖÝÖ³ÖÝÖ ×ÛúÃÖß ÃÖ´ÖµÖ Æã†Ö £ÖÖ |
‡ÃÖê ÃÖÖ´ÖÖ®µÖ ¯ÖΓÖÖ¸´ÖêÓ †Ö®ÖêÛê ×»ÖµÖê “ÖÖ¸ ¯ÖÖÓ“Ö ¿ÖŸÖÖײ¤µÖÖÓ »ÖÝÖ ÝÖ‡Ô
ÆÖêÝÖß | ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ Ûú¸®Öê¾ÖÖ»ÖÖ †ÖµÖÔ³Ö™ÛúÖ ÝÖή£Ö Æß
ÃÖ¾ÖÔ¯ÖÎ£Ö´Ö †“”Ö ÝÖή£Ö ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî | †ÖµÖÔ³Ö™Ûê ÝÖή£ÖÃÖê
¯Öæ¾ÖÔÛê ÝÖή£ÖÖêÓ´Öê µÖÖ ŸÖÖê ¯Öã¸Ö®Öß
ÃÖÓܵÖÖ¯Ö¬¤×ŸÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ £ÖÖ, †£Ö¾ÖÖ, ¾Öê ÃÖ´ÖµÖÛúß ÛúÃÖÖî™ß ¯Ö¸ šßÛú
ˆŸÖ¸®Öê »ÖÖµÖÛú †“”ê ®ÖÆßÓ £Öê | ÝÖ×ÞÖŸÖÛúß ¤é™ßÃÖê †ÖµÖÔ³Ö™Ûúß ×¾ÖßÖéŸÖ ܵÖÖןÖÛúÖ ÛúÖ¸ÞÖ, ´Öê¸ê ´ÖŸÖÖ®ÖãÃÖÖ¸,
²ÖÆãŸÖÖµÖŸÖÃÖê µÖÆß £ÖÖ ×Ûú ˆ®ÆÖêÓ®Öê Æß ÃÖ¾ÖÔ¯ÖÎ£Ö´Ö ‹Ûú †“”Ö ÝÖή£Ö ¸“ÖÖ,
וÖÃÖ´ÖêÓ ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ £ÖÖ | †ÖµÖÔ³Ö™Ûê Æß ÛúÖ¸ÞÖ ¯Öã¸Ö®Öß ¯ÖãßÖÛê †¯ÖΓÖ×»ÖŸÖ †Öî¸ ×¾Ö»Öß®Ö ÆÖê ÝÖ‡Ô | ‡ÃÖÃÖê
ÃÖÖ±ú ¯ÖŸÖÖ “Ö»Ö •ÖÖŸÖÖ Æî ×Ûú ÃÖ®ÖË 499 Ûê ¯Ö¿“ÖÖŸÖË ×»ÖÜÖß Æã‡Ô ŸÖÖê Æ´ÖêÓ
‡ŸÖ®Öß ¯ÖãßÖÛêÓú ×´Ö»ÖŸÖß ÆîÓ, ×Ûú®ŸÖã ˆÃÖÛê ¯Öæ¾ÖÔÛê ÛúÖê‡Ô ÝÖή£Ö ˆ¯Ö»Ö²¬Ö
®ÖÆßÓ Æî |
‡ÃÖ
¯ÖÎÛúÖ¸ ÃÖ®ÖË 500 ‡ÔÃÖ¾ÖßÛê ¯Öæ¾ÖÔÛê ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ×¾ÖÛúÖÃÖ †Öî¸
ˆ®®ÖןÖÛúÖ ×“Ö¡ÖÞÖ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ¾ÖÖß־ִÖêÓ ÛúÖê‡Ô ÃÖÖ¬Ö®Ö Æ´ÖÖ¸ê ¯ÖÖÃÖ
®ÖÆßÓ Æî | ‹êÃÖß †¾ÖãÖÖ´ÖêÓ †ÖµÖÔ³Ö™ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛê ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖ®ÖÛúÖ ²ÖÖê¬Ö Ûú¸Ö®Öê¾ÖÖ»Öê
ÝÖή£ÖÖêÛúß ÜÖÖê•Ö Ûú¸®ÖÖ ‹Ûú ×¾Ö¿ÖêÂÖ ´ÖÆ¢¾Ö¯ÖæÞÖÔ ÛúÖµÖÔ ÆÖê •ÖÖŸÖÖ Æî |
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ÝÖή£ÖÖêÓÛê ®Ö™ ÆÖê •ÖÖ®ÖêÛê ÛúÖ¸ÞÖ ÃÖ®ÖË 500 Ûê
¯Öæ¾ÖÔÛúÖ»Öß®Ö ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ‡×ŸÖÆÖÃÖÛúÖ ¯Öã®Ö: ×®Ö´ÖÖÔÞÖ Ûú¸®ÖêÛê
×»ÖµÖê Æ´ÖêÓ ×Ƥã†ÖêÓ, ²ÖÖî¨ÖêÓ †Öî¸ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛê ÃÖÖ×ÆŸµÖÛúß, †Öî¸
×¾Ö¿ÖêÂÖŸÖ: ¬ÖÖ×´ÖÔÛú ÃÖÖ×ÆŸµÖÛúß, ”Ö®Ö²Öß®Ö Ûú¸®Öß ¯Ö›ŸÖß Æî | †®ÖêÛú
¯Öã¸ÖÞÖÖêÓ´ÖêÓ Æ´ÖêÓ ‹êÃÖê ³Öß ÜÖÓ›
×´Ö»ÖŸÖê ÆîÓ ×•Ö®Ö´ÖêÓ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖÃ¡Ö †Öî¸ •µÖÖêןÖÂÖ×¾ÖªÖÛúÖ ¾ÖÞÖÔ®Ö
¯ÖÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî | ‡ÃÖß ¯ÖÎÛúÖ¸ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛê †×¬ÖÛúÖÓ¿Ö †ÖÝÖ´ÖÝÖή£ÖÖêÓ´ÖêÓ
³Öß ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖÃ¡Ö µÖÖ •µÖÖêןÖÂÖ×¾ÖªÖÛúß Ûãú” ®Ö Ûãú” ÃÖÖ´ÖÝÖÎß ×´Ö»ÖŸÖß Æî |
µÖÆß ÃÖÖ´ÖÝÖÎß ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ¯Ö¸´¯Ö¸ÖÝÖŸÖ ÝÖ×ÞÖŸÖÛúß ªÖêŸÖÛú Æî, †Öî¸ ¾ÖÆ ‡ÃÖ
ÝÖή£ÖÃÖê וÖÃÖ´ÖêÓ ¾ÖÆ †®ŸÖ³ÖæÔŸÖ Æî, ¯ÖÎÖµÖ: ŸÖß®Ö “ÖÖ¸ ¿ÖŸÖÖײ¤µÖÖÓ ¯Öã¸Ö®Öß
ÆÖêŸÖß Æî | †ŸÖ: µÖפ Æ´Ö ÃÖ®ÖË 400 ÃÖê 800 ŸÖÛúÛúß ×ÛúÃÖß ¬ÖÖ×´ÖÔÛú µÖÖ
¤¿ÖÔ×®ÖÛú ÛéúןÖÛúß ¯Ö¸ßõÖÖ Ûú¸ê ŸÖÖê ˆÃÖÛúÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖ ×¾Ö¾Ö¸ÞÖ
‡ÔÃÖ¾ÖßÛê ¯ÖÎÖ¸Ó³ÖÃÖê ÃÖ®ÖË 400 ŸÖÛúÛúÖ ´ÖÖ®ÖÖ •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ Æî |
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ
×®Ö¹ý¯ÖÞÖÛê ¯ÖÎÛúÖ¿Ö´Öê Æß Æ´Ö ‡ÃÖ ®ÖÖî¾ÖßÓ ¿ÖŸÖÖ²¤ßÛê ¯ÖÎÖ¸Ó³ÖÛúß ¸“Ö®ÖÖ
ÂÖ™ËÜÖÞ›ÖÝÖ´ÖÛúß ™ßÛúÖ ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúß ÜÖÖê•ÖÛúÖê †ŸµÖ®ŸÖ ´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ÃÖ´Ö—ÖŸÖê ÆîÓ
| ÁÖßµÖãŸÖ Æ߸ֻÖÖ»Ö •Öî®Ö®Öê ‡ÃÖ ÝÖή£ÖÛúÖ ÃÖ´¯ÖÖ¤®Ö †Öî¸ ¯ÖÎÛúÖ¿Ö®Ö Ûú¸Ûê
×¾Ö«Ö®ÖÖÓêÛúÖê ãÖÖµÖß¹ý¯ÖÃÖê ÛéúŸÖ–ÖŸÖÛúÖ ŠúÞÖß ²Ö®ÖÖ ×»ÖµÖÖ Æî
--------------------------------
1
²ÖδÆÛãú¿Ö׿ֲÖã¬Ö³ÖéÝÖã¸×¾ÖÛãú•ÖÝÖã¹ýÛúÖêÞÖÝÖÞÖÖ®®Ö´ÖÃÛéúŸµÖ |
†ÖµÖÔ³Ö™×ß¾ÖÆ ×®ÖÝ֤ןÖ
ÛãúÃÖã´Ö¯Öã¸ês³µÖדÖÔŸÖÓ –ÖÖ®Ö´ÖË || †ÖµÖԳ֙ߵÖ. 2,1.
²ÖδƳÖæ×´Ö®ÖõÖ¡ÖÝÖÞÖÖ®®Ö´ÖÃÛéúŸµÖ
ÛãúÃÖã´Ö¯Öã¸ê ÛãúÃÖã´Ö¯Öã¸ÖܵÖês×ô֮¤ê¿Öê †³µÖדÖÔŸÖÓ –ÖÖ®ÖÓ
ÛãúÃÖã´Ö¯Ö㸾ÖÖ×ÃÖ×´Ö: ¯Öæו֟ÖÓ ÝÖÎÆÝÖן֖ÖÖ®ÖÃÖÖ¬Ö®Ö³ÖæŸÖÓ ŸÖ®¡Ö´ÖÖµÖÔ³Ö™Öê
×®ÖÝÖ¤×ŸÖ | ( ¯Ö¸´Ö꿾ָ֓ÖÖµÖÔÛéúŸÖ ™ßÛúÖ )
--------------------------------
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúß •Öî®Ö¿ÖÖÜÖÖ
ÃÖ®ÖË
1912 ´Öê ¸ÓÝÖÖ“ÖÖµÖÔ«Ö¸Ö ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆÛúß ÜÖÖê•Ö †Öî¸ ¯ÖÎÛúÖ¿Ö®ÖÛê
ÃÖ´ÖµÖÃÖê ×¾Ö«Ö®ÖÖêÓÛúÖê †Ö³ÖÖÃÖ ÆÖê®Öê »ÖÝÖÖ Æî ×Ûú ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúß ‹êÃÖß ³Öß
‹Ûú ¿ÖÖÜÖÖ ¸Æß Æî •ÖÖê ×Ûú ¯ÖæÞÖÔŸÖ: •Öî®Ö ×¾Ö«Ö®ÖÖêÓ«Ö¸Ö “Ö»ÖÖ‡Ô •ÖÖŸÖß £Öß |
ÆÖ»ÖÆß´ÖêÓ •Öî®Ö †ÖÝÖ´ÖÛê Ûãú” ÝÖή£ÖÖêÓÛê †¬µÖµÖ®ÖÃÖê •Öî®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ–Ö †Öî¸
ÝÖ×ÞÖŸÖÝÖή£ÖÖêÓÃÖ´²Ö®¬Öß ˆ»»ÖêÜÖÖêÓÛúÖ ¯ÖŸÖÖ “Ö»ÖÖ Æî2 |
•Öî×®ÖµÖÖêÓÛúÖ ¬ÖÖ×´ÖÔÛú ÃÖÖ×ÆŸµÖ “ÖÖ¸ ³ÖÖÝÖÖêÓ´ÖêÓ ×¾Ö³ÖÖ×•ÖŸÖ Æî •ÖÖê †®ÖãµÖÖêÝÖ,
(•Öî®Ö¬Ö´ÖÔÛê) ŸÖ¢¾ÖÖêÓÛúÖ Ã¯Ö™ßÛú¸ÞÖ, ÛúÆ»ÖÖŸÖê ÆîÓ | ‡®Ö´ÖêÓÃÖê ‹ÛúÛúÖ ®ÖÖ´Ö
Ûú¸ÞÖÖ®ÖãµÖÖêÝÖ µÖÖ ÝÖ×ÞÖŸÖÖ®ÖãµÖÖêÝÖ, †£ÖÖÔŸÖË ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖÓ²Ö®¬Öß
ŸÖ¢¾ÖÖêÓÛúÖ Ã¯Ö™ßÛú¸ÞÖ, Æî | ‡ÃÖßÃÖê ¯ÖŸÖÖ “Ö»ÖŸÖÖ Æî ×Ûú •Öî®Ö¬Ö´ÖÔ †Öî¸
•Öî®Ö¤¿ÖÔ®Ö´ÖêÓ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúÖê ×ÛúŸÖ®ÖÖ ˆ““Ö ¯Ö¤ פµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî |
µÖª×¯Ö
†®ÖêÛú •Öî®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ–ÖÖêÓÛê ®ÖÖ´Ö –ÖÖŸÖ Æî, ¯Ö¸ÓŸÖã ˆ®ÖÛúß ÛéúןֵÖÖÓ »Ö㯟Ö
ÆÖê ÝÖ‡Ô ÆîÓ | ˆ®Ö´ÖêÓ ÃÖ²ÖÃÖê ¯ÖÎÖ“Öß®Ö ³Ö¦²ÖÖÆã ÆîÓ •ÖÖê ×Ûú ‡ÔÃÖÖÃÖê 278
¾ÖÂÖÔ ¯Öæ¾ÖÔ Ã¾ÖÝÖÔ ×ÃÖ¬ÖÖ¸ê | ¾Öê •µÖêÖןÖÂÖ ×¾ÖªÖ ¤Öê ÝÖή£ÖÖêÓÛê »ÖêÜÖÛú
´ÖÖ®Öê •ÖÖŸÖê ÆîÓ (1) ÃÖæµÖÔ¯ÖΖÖׯŸÖÛúß ™ßÛúÖ; †Öî¸ (2) ³Ö¦²ÖÖƾÖß ÃÖÓ×ÆŸÖÖ
®ÖÖ´ÖÛú ‹Ûú ´ÖÖî×»ÖÛú ÝÖÎή£Ö | ´Ö»ÖµÖ×ÝÖ¸ß (»ÖÝÖ³ÖÝÖ 1150 ‡Ô.) ®Öê †¯Ö®Öß
ÃÖæµÖÔ¯ÖΖÖׯŸÖÛúß ™ßÛúÖ´ÖêÓ ‡®ÖÛúÖ ˆ»»ÖêÜÖ ×ÛúµÖÖ Æî, †Öî¸ ³Ö™Ë™Ö꟯ֻÖ3
(965) ®Öê ˆ®ÖÛê ÝÖή£ÖÖ¾ÖŸÖ¸ÞÖ ×¤µÖê ÆîÓ
| ×ÃÖ¨ÃÖê®Ö ®ÖÖ´ÖÛú ‹Ûú ¤æÃÖ¸ê •µÖÖêןÖÂÖßÛê ÝÖή£ÖÖ¾ÖŸÖ¸ ¾Ö¸ÖÆ×´Ö×Ƹ (505)
†Öî¸ ³Ö™Ë™ÖêŸ¯Ö»Ö «Ö¸Ö פµÖê ÝÖµÖê ÆîÓ |
--------------------------------
1 ¤êÜÖÖê --- ¸ÓÝÖÖ“ÖÖµÖÔ «Ö¸Ö ÃÖ´¯ÖÖפŸÖ
ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆÛúß ¯ÖÎßÖÖ¾Ö®ÖÖ, ›ß. ‡Ô. ×Ã´Ö£Ö«Ö¸Ö ×»Ö×ÜÖŸÖ, ´Ö¦ÖÃÖ, 1912.
2 ²Öß ¤¢Ö:
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖ •Öî®Ö (¿ÖÖÜÖÖ, ²Öã»Öê™ß®Ö Ûú»ÖÛú¢ÖÖ ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖêÃÖÖµÖ™ß, וֻ¤
21 (1919), ¯Öéš 115 ÃÖê 145.
3 ²ÖéÆŸÃÖÓ×ÆŸÖÖ, ‹ÃÖ
׫¾Öê¤ß²ÖÎÖ¸Ö ÃÖ´¯ÖÖפŸÖ, ²Ö®ÖÖ¸ÃÖ, 1895, ¯Öé. 226.
--------------------------------
†¬ÖÔ´ÖÖÝÖ¬Öß †Öî¸
¯ÖÎÖÛéúŸÖ ³ÖÖÂÖÖ´ÖêÓ ×»ÖÜÖê Æã‹ ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖ´²Ö®¬Öß ˆ»»ÖêÜÖ †®ÖêÛú ÝÖή£ÖÖê´ÖêÓ
¯ÖÖµÖê •ÖÖŸÖê ÆîÓ | ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ‡ÃÖ¯ÖÎÛúÖ¸Ûê ²ÖÆãÃÖÓܵÖÖÛú †¾ÖŸÖ¸ÞÖ ×¾Öª´ÖÖ®Ö
ÆîÓ | ‡®Ö †¾ÖŸÖ¸ÞÖÖê¯Ö¸ µÖ£ÖÖãÖÖ®Ö ×¾Ö“ÖÖ¸ ×ÛúµÖÖ •ÖÖµÖêÝÖÖ | ×Ûú®ŸÖã µÖÆÖÑ
²ÖÖŸÖ ˆ»»ÖêÜÖ®ÖßµÖ Æî ×Ûú ¾Öê †¾ÖŸÖ¸ÞÖ ×®Ö:ÃÖÓ¿ÖµÖ¹ý¯ÖÃÖê ×ÃÖ¨ Ûú¸ŸÖê ÆîÓ ×Ûú
•Öî®Ö ×¾Ö«Ö®ÖÖêÓ«Ö¸Ö ×»ÖÜÖê ÝÖµÖê ÝÖ×ÞÖŸÖÝÖή£Ö £Öê •ÖÖê ×Ûú †²Ö »Öã¯ŸÖ ÆÖê
ÝÖµÖê ÆîÓ1 | õÖê¡Ö ÃÖ´ÖÖÃÖ †Öî¸ Ûú¸ÞÖ³ÖÖ¾Ö®ÖÖÛê ®ÖÖ´ÖÃÖê •Öî®Ö
×¾Ö«Ö®ÖÖê«Ö¸Ö ×»Ö×ÜÖŸÖ ÝÖή£Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖ´²Ö®¬Öß Æß £Öê | ¯Ö¸ †²Ö Æ´ÖêÓ
‹êÃÖê ÛúÖê‡Ô ÝÖή£Ö ¯ÖÎÖ¯µÖ ®ÖÆßÓ ÆîÓ | Æ´ÖÖ¸Ö •Öî®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖ´²Ö®¬Öß
†ŸµÖ®ŸÖ ÜÖÓ×›ŸÖ –ÖÖ®Ö Ã£ÖÖ®ÖÖÓÝÖ ÃÖæ¡Ö, ˆ´ÖÖþÖÖןÖÛéúŸÖ
ŸÖŸ¾ÖÖ£ÖÖÔבÖÝÖ´ÖÃÖæ¡Ö³ÖÖµÖ, ÃÖæµÖÔ¯ÖΖÖׯŸÖ, †®ÖãµÖÖêÝÖ«Ö¸ÃÖæ¡Ö,
סֻÖÖêÛú¯ÖΖÖׯŸÖ, סֻÖÖêÛúÃÖÖ¸ †Öפ ÝÖ×ÞÖŸÖêŸÖ¸ ÝÖή£ÖÖêÓÃÖê ÃÖÓÛú×»ÖŸÖ Æî Õ
†²Ö ‡®Ö ÝÖή£ÖÖê´Öê ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ ®ÖÖ´Ö ³Öß •ÖÖê›Ö •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ Æî |
¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ ´ÖÆŸ¾Ö
¬Ö¾Ö»ÖÖ
®ÖÖî¾ÖßÓ ÃÖ¤ßÛê ¯ÖÎÖ¸Ó³Ö´Öê ¾Ö߸ÃÖê®Ö
«Ö¸Ö ×»ÖÜÖß ÝÖ‡Ô £Öß | ¾Ö߸ÃÖê®Ö ŸÖ¢Ö–ÖÖ®Öß †Öî¸ ¬ÖÖ×´ÖÔÛú פ¾µÖ¯Öã¹ýÂÖ £Öê |
¾Öê ¾ÖßÖãŸÖ: ÝÖ×ÞÖŸÖ–Ö ®ÖÆßÓ £Öê | †ŸÖ: •ÖÖê ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖÃÖÖ´ÖÝÖÎß
¬Ö¾Ö»ÖÖÛê †®ŸÖÝÖÔŸÖ Æî, ¾ÖÆ ˆ®ÖÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖßÔ »ÖêÜÖÛúÖêÓÛúß Ûéú×ŸÖ ÛúÆß •ÖÖ
ÃÖÛúŸÖß Æî, †Öî¸ ´Öãֵܵ֟ÖÖ ¯Öæ¾ÖÔÝÖŸÖ ™ßÛúÖÛúÖ¸ÖêÓÛúß, וִ֮ÖêÓÃÖê ¯ÖÖÓ“ÖÛúÖ
‡®¦®Ö®¤ß®Öê †¯Ö®Öê ÁÖãŸÖÖ¾ÖŸÖÖ¸´ÖêÓ ˆ»»ÖêÜÖ ×ÛúµÖÖ Æî | µÖê ™ßÛúÖÛúÖ¸ ÛãÓú¤ÛãÓú¤, ¿ÖÖ´ÖÛãÓú¤, ŸÖãÓ²Öã»Öæ¸,
ÃÖ´Ö®ŸÖ³Ö¦ †Öî¸ ²Ö¯¯Ö¤ê¾Ö £Öê, וִ֮ÖêÓÃÖê ¯ÖÎ£Ö´Ö »ÖÝÖ³ÖÝÖ ÃÖ®ÖË 200 Ûê
†Öî¸ †×®ŸÖ´Ö ÃÖ®ÖË 600 Ûê »ÖÝÖ³ÖÝÖ Æã‹ | †ŸÖ: ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúß †×¬ÖÛúÖÓ¿Ö
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖÃÖÖ´ÖÝÖÎß ÃÖ®ÖË 200 ÃÖê 600 ŸÖÛúÛê ²Öß“ÖÛê ÃÖ´ÖµÖÛúß ´ÖÖ®Öß •ÖÖ
ÃÖÛúŸÖß Æî | ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖßÔµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ‡×ŸÖÆÖÃÖÛúÖ¸ÖêÓÛê ×»ÖµÖê ¬Ö¾Ö»ÖÖ ¯ÖΣִÖ
ÁÖêÞÖßÛúÖ ´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ÝÖή£Ö ÆÖê •ÖÖŸÖÖ Æî, ŒµÖÖêÓ×Ûú ˆÃÖ´Öê Æ´ÖêÓ ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ‡×ŸÖÆÖÃÖÛê ÃÖ²ÖÃÖê
†×¬ÖÛú †Ó¬ÖÛúÖ¸¯ÖæÞÖÓÔ ÃÖ´ÖµÖ, †£ÖÖÔŸÖË ¯ÖÖÓ“Ö¾Öß ¿ÖŸÖÖ²¤ßÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛúß ²ÖÖŸÖêÓ
×´Ö»ÖŸÖß ÆîÓ | ×¾Ö¿ÖêÂÖ †¬µÖµÖ®ÖÃÖê µÖÆ ²ÖÖŸÖ †Öî¸ ³Öß ¯Öã™ ÆÖê •ÖÖŸÖß Æî ×Ûú
¬Ö¾Ö»ÖÖÛúß ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖ ÃÖÖ´ÖÝÖÎß ÃÖ®ÖË 500 ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛúß Æî | ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ-
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ¾Ö×ÞÖÔŸÖ †®ÖêÛú ¯ÖÎ×ÛεÖÖµÖêÓ ×ÛúÃÖß ³Öß †®µÖ –ÖÖŸÖ ÝÖή£Ö´ÖêÓ
®ÖÆßÓ ¯ÖÖ‡Ô •ÖÖŸÖß, ŸÖ£ÖÖ ‡ÃÖ´ÖêÓ Ûãú” ‹êÃÖß Ã£Ö»ÖŸÖÖÛúÖ †Ö³ÖÖÃÖ ³Öß Æî
וÖÃÖÛúß —Ö»ÖÛú ¯Ö¿“ÖÖŸÖËÛê ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÃÖê ¯Ö×¸×“ÖŸÖ ×¾Ö«Ö®ÖÖêÓÛúÖê ÃÖ¸»ÖŸÖÖÃÖê ×´Ö»Ö
ÃÖÛúŸÖß Æî | ¬Ö¾Ö»ÖÖÛê ÝÖ×ÞÖŸÖ³ÖÖÝÖ´ÖêÓ ¾ÖÆ ¯Ö׸¯ÖæÞÖÔŸÖÖ Æî ¯Ö׸ÂÛúÖ¸ ®ÖÆßÓ Æî
•ÖÖê †ÖµÖԳ֙˙ †Öî¸ ˆÃÖÛê ¯Ö¿¾ÖÖŸÖËÛê ÝÖή£ÖÖêÓ´Öê Æî |
¬Ö¾Ö»ÖÖ®ŸÖÝÖÔŸÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖ
ÃÖÓܵÖÖ‹Ó †Öî¸ ÃÖÓÛêŸÖ--- ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ¸
¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÃÖê ¯ÖæÞÖÔŸÖ: ¯Ö×¸×“ÖŸÖ ÆîÓ | ‡ÃÖÛê ¯ÖδÖÖÞÖ ÃÖ¾ÖÔ¡Ö ˆ¯Ö»Ö²¬Ö
ÆÖêŸÖê ÆîÓ | Æ´Ö µÖÆÖÑ ¬Ö¾Ö»ÖÖÛê †®ŸÖÝÖÔŸÖ †¾ÖŸÖ¸ÞÖÖêÓÃÖê »Öß ÝÖ‡Ô
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛúß Ûãú” ¯Ö¨×ŸÖµÖÖêÓÛúÖê ˆ¯Ö×Ã£ÖŸÖ Ûú¸ŸÖê Æî ---
--------------------------------
1
¿Öß»ÖÖÛú®Öê ÃÖæ¡ÖÛéúŸÖÖÝÖÃÖæ¡Ö,ôֵÖÖ¬µÖµÖ®Ö
†®ÖãµÖÖêÝÖ«Ö¸, ¿»ÖÖêÛú 28 ¯Ö¸ †¯Ö®Öß ™ßÛúÖ´Öê ´ÖÓÝÖÃÖÓ²Ö¬Öß ( regarding
permutation and combination ) ŸÖß®Ö
×®ÖµÖ´Ö ˆ¨ŸÖ ×ÛúµÖê Æî | µÖê ×®ÖµÖ´Ö ×ÛúÃÖß
•Öî®Ö ÝÖ×ÞÖŸÖ ÝÖΣִÖêÃÖê ×»ÖµÖê ÝÖµÖê •ÖÖ®Ö ¯Ö›ŸÖê Æî |
--------------------------------
(1)
79999998 ÛúÖê ‹êÃÖß ÃÖÓܵÖÖ ÛúÆÖ Æî ×Ûú
וÖÃÖÛê †Öפ´ÖêÓ 7, †®ŸÖ´ÖêÓ 8 †Öî¸ ´Ö¬µÖ´ÖêÓ ”Æ ¾ÖÖ¸ 9 Ûúß ¯Öã®Ö¸Ö¾Öé×¢Ö Æî1
|
(2)
46666664 ¾µÖŒŸÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî-- “ÖÖîÃÖš, ”Æ
ÃÖÖî, ”µÖÖÃÖš Æ•ÖÖ¸, ”µÖÖÃÖš »ÖÖÜÖ, †Öî¸ “ÖÖ¸ Ûú¸Öê›2 |
(3)
22799498 ¾µÖŒŸÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî-- ¤Öê Ûú¸Öê›, ÃÖ¢ÖÖ‡ÃÖ,
×®Ö®µÖÖ®®Ö¾Öê Æ•ÖÖ¸,“ÖÖ¸ÃÖÖî †Öî¸ †®šÖ®®Ö¾Öê3 |
‡®Ö´ÖêÓÃÖê (1) ´ÖêÓ ×•ÖÃÖ ¯Ö¨×ŸÖÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ
×ÛúµÖÖ Æî ¾ÖÆ •Öî®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ †®µÖ ãÖÖ®ÖÖê´Ö ³Öß ¯ÖÖµÖß •ÖÖŸÖß Æî, †Öî¸
ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆ´ÖêÓ4 ³Öß Ûãú” ãÖÖ®ÖÖêÓ´ÖêÓ Æî | ˆÃÖÃÖê
¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛúÖ ÃÖã¯Ö׸“ÖµÖ ×ÃÖ¨ ÆÖêŸÖÖ Æî | (2) ´ÖêÓ ”Öê™ß ÃÖÓܵÖÖ‹ ¯ÖÆ»Öê ¾µÖŒŸÖ Ûúß ÝÖ‡Ô Æî | µÖÆ
ÃÖÓÃÛéúŸÖ ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ ¯ÖΓÖ×»ÖŸÖ ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ ¸ßןÖÛê †®ÖãÃÖÖ¸ ®ÖÆßÓ Æî | ˆÃÖß
¯ÖÎÛúÖ¸ µÖÆÖÑ ÃÖÓÛêŸÖ-Û뫅 ÃÖÖî Æî, ×Ûú ¤¿Ö •ÖÖê ×Ûú ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖŸÖ: ÃÖÓÃÛéúŸÖ
ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ ¯ÖÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî5 | ×Ûú®ŸÖã ¯ÖÖ»Öß †Öî¸ ¯ÖÎÖÛéúŸÖ´Öê
ÃÖÖî ÛúÖ Û뫅 Æß ¯ÖÎÖµÖ: ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ´ÖêÓ »ÖÖµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî | (3) ´Öê ÃÖ²ÖÃÖê ²Ö›ß
ÃÖÓܵÖÖ ¯ÖÆ»Öê ¾µÖŒŸÖ Ûúß ÝÖ‡Ô Æî | †¾Ö¸ŸÖ¸ÞÖ (2) †Öî¸ (3) ïÖ™ŸÖ: ׳֮®Ö
ãÖÖ®ÖÖêÓÃÖê ×»ÖµÖê ÝÖµÖê ÆîÓ |
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖµÖêÓ --- µÖÆ
ÃÖã×¾ÖפŸÖ Æî ×Ûú •Öî®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖµÖêÓ ²ÖÆãŸÖÖµÖŸÖÃÖê
ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ´ÖêÓ †Ö‡Ô ÆîÓ | ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ³Öß †®ÖêÛú ŸÖ¸ÆÛúß •Öß¾Ö¸Ö׿ֵÖÖêÓ (
¦¾µÖ¯ÖδÖÖÞÖ ) †Öפ ¯Ö¸ ŸÖÛÔ ×¾ÖŸÖÛÔ Æî | ×®Ö׿“ÖŸÖ¹ý¯ÖÃÖê ×»ÖÜÖß ÝÖ‡Ô ÃÖ²ÖÃÖê
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ ¯ÖµÖÖÔ¯ŸÖ ´Ö®ÖãµÖÖêÓÛúß Æî | µÖÆ ÃÖÓܵÖÖ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ6 ¤Öê Ûê ”šê
¾ÖÝÖÔ †Öî¸ ¤Öê Ûê ÃÖÖŸÖ¾ÖêÓ ¾ÖÝÖÔÛê ²Öß“ÖÛúß, †£Ö¾ÖÖ †Öî¸ ³Öß ×®Ö׿“ÖŸÖ,
ÛúÖê×™-ÛúÖê×™-ÛúÖê×™ †Öî¸ ÛúÖê×™-ÛúÖê×™-ÛúÖê×™-ÛúÖê×™Ûê ²Öß“ÖÛúß ÛúÆß ÝÖ‡Ô Æî |
µÖÖ®Öê ---
226 †Öî¸
227 Ûê
²Öß“ÖÛúß | †£Ö¾ÖÖ, †Öî¸ †×¬ÖÛú ×®ÖµÖŸÖ- (1,00,00,000)3
†Öî¸ (1,00,00,000)4 Ûê ²Öß“ÖÛúß | †£Ö¾ÖÖ, ÃÖ¾ÖÔ£ÖÖ ×®Ö׿“ÖŸÖ- 225 x 226 |
‡®Ö •Öß¾ÖÖêÓÛúß ÃÖÓܵÖÖ †®µÖ ´ÖŸÖÖ®ÖãÃÖÖ¸
79228162514264337593543950336 Æî |
--------------------------------
1. ¬Ö. ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öéš 98,
ÝÖÖ£ÖÖ 51 | ¤êÜÖÖê ÝÖÖê´´Ö™ÃÖÖ¸, •Öß¾ÖÛúÖÓ› ¯Öéš 633.
2. ¬Ö. ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öéš 99,
ÝÖÖ£ÖÖ 52 | 3. ¬Ö. ³ÖÖÝÖ 3. ¯Öé.
100, ÝÖÖ£ÖÖ 53.
4.
¤êÜÖÖê-ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÖ¸ÃÖÓÝÖÎÆ 1, 27 †Öî¸ ³Öß ¤êÜÖÖê ¤¢Ö †Öî¸ ×ÃÖÓÆÛúÖ ×Æ®¤æ
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúÖ ‡×ŸÖÆÖÃÖ, וֻ¤ 1, »ÖÖÆÖê¸ 1935, ¯Öé 16 5. ¤¢Ö †Öî¸ ×ÃÖÓÆ, ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖË ¯Öé. 14. 6
¬Ö. ³ÖÖÝÖ 3,
¯Öé 253 7 ÝÖÖê´´Ö™ÃÖÖ¸,•Öß¾ÖÛúÖÓ›, (ÃÖê. ²Öã. •Öî. ÃÖ߸ߕÖ) ¯Öé. 104
--------------------------------
µÖÆ ÃÖÓܵÖÖ ˆ®ŸÖßÃÖ †ÓÛú ÝÖÎÆÞÖ Ûú¸ŸÖß Æî |
‡ÃÖ´ÖêÓ ³Öß ˆŸÖ®Öê Æß Ã£ÖÖ®Ö ÆîÓ ×•ÖŸÖ®Öê ×Ûú ( 1,00,00,000 )4 ´ÖêÓ,
¯Ö¸®ŸÖã Æî ¾ÖÆ ˆÃÖÃÖê ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ | µÖÆ
²ÖÖŸÖ ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ¸ÛúÖê –ÖÖŸÖ Æî †Öî¸ ˆ®ÆÖêÓ®Öê ´Ö®ÖãµÖõÖê¡ÖÛúÖ õÖê¡Ö±ú»Ö
×®ÖÛúÖ»ÖÛú¸ µÖÆ ×ÃÖ¨ ×ÛúµÖÖ Æî ×Ûú ˆŒŸÖ ÃÖÓܵÖÖÛê ´Ö®Öã嵅 ´Ö®ÖãµÖõÖê¡Ö´Öê
®ÖÆß ÃÖ´ÖÖ ÃÖÛúŸÖê, †Öî¸ ‡ÃÖ×»ÖµÖê ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖ¾ÖÖ»ÖÖ ´ÖŸÖ šßÛú ®ÖÆß Æî |
´ÖÖî×»ÖÛú ¯ÖÎ×ÛεÖÖµÖêÓ
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ
•ÖÖê›, ²ÖÖÛúß, ÝÖãÞÖÖ, ³ÖÖÝÖ, ¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö †Öî¸ ‘Ö®Ö´Öæ»Ö ×®ÖÛúÖ»Ö®ÖÖ, ŸÖ£ÖÖ
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖ ‘ÖÖŸÖ ×®ÖÛúÖ»Ö®ÖÖ ( The raising of
numbers to given powers ) †Öפ
´ÖÖî×»ÖÛú ¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓÛúÖ Ûú£Ö®Ö ˆ¯Ö»Ö²¬Ö Æî | µÖê ×ÛεÖÖ‹Ó ¯ÖæÞÖÖÕÛú †Öî¸
׳֮®Ö, ¤Öê®ÖÖêÓÛê ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö´Öê ÛúÆß ÝÖ‡Ô ÆîÓ | ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ¾Ö×ÞÖÔŸÖ
‘ÖÖŸÖÖÓÛúÛúÖ ×ÃÖ¨ÖÓŸÖ ( theory of
indices ) ¤æÃÖ¸ê ÝÖ×ÞÖŸÖ ÝÖή£ÖÖêÃÖê Ûãú” Ûãú” ׳֮®Ö Æî | ×®Ö¿“ÖµÖŸÖ: µÖÆ
×ÃÖ¨Ö®ŸÖ ¯ÖÎÖ£Ö×´ÖÛú Æî, †Öî¸ ÃÖ®ÖË 500 ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔÛúÖ Æî | ‡ÃÖ
×ÃÖ¨Ö®ŸÖÃÖ´²ÖÓ¬Öß ´ÖÖî×»ÖÛú ×¾Ö“ÖÖ¸
×®Ö´®Ö×»Ö×ÜÖŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓÛê †Ö¬ÖÖ¸¯Ö¸
¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖê ÆîÓ:--- (1) ¾ÖÝÖÔ, (2) ‘Ö®Ö, (3) ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ¾ÖÝÖÔ, (4) ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸
‘Ö®Ö (5) ×ÛúÃÖß ÃÖÓܵÖÖÛúÖ ÃÖÓܵÖÖŸÖ㻵Ö
‘ÖÖŸÖ ×®ÖÛúÖ»Ö®ÖÖ ( The raising of numbers to their own power ), (6)
¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö, (7) ‘Ö®Ö´Öæ»Ö, (8) ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö, (9) ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ‘Ö®Ö´Öæ»Ö,
†Öפ Õ †®µÖ ÃÖ²Ö ‘ÖÖŸÖÖÓÛú ‡®ÆßÓ ¹ý¯ÖÖêÓ´ÖêÓ ¯ÖÎÝÖ™ ×ÛúµÖê ÝÖµÖê ÆîÓ |
ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ--- † 3/2 ÛúÖê † Ûê ‘Ö®ÖÛúÖ ¯ÖÎ£Ö´Ö ¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö
ÛúÆÖ Æî | †9 ÛúÖê † ÛúÖ ‘Ö®ÖÛúÖ ‘Ö®Ö ÛúÆÖ Æî | †6 ÛúÖê
† Ûê ‘Ö®ÖÛúÖ ¾ÖÝÖÔ, µÖÖ
¾ÖÝÖÔÛúÖ ‘Ö®Ö ÛúÆÖ Æî, ‡ŸµÖÖפ1 | ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ¾ÖÝÖÔ †Öî¸ ‘Ö®Ö´Öæ»Ö
®Öß“Öê ×»ÖÜÖê †®ÖãÃÖÖ¸ ÆîÓ -
†
ÛúÖ ¯ÖÎ£Ö´Ö ¾ÖÝÖÔ µÖÖ®Öê (†) 2 = † 2
,, ׫ŸÖßµÖ ¾ÖÝÖÔ
µÖÖ®Öê (†2) 2 = † 4 = † 226
,, ŸÖéŸÖßµÖ ¾ÖÝÖÔ
µÖÖ®Öê † 23
,, ®Ö ¾ÖÝÖÔ ,, †2 ®Ö
ˆÃÖß ¯ÖÎÛúÖ¸ --- † ÛúÖ ¯ÖÎ£Ö´Ö ¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö
µÖÖ®Öê † 1/2
† ÛúÖ ×«ŸÖßµÖ ,,
,, †1/2 2
,, ,, ŸÖéŸÖßµÖ ,,
,, †1/2 3
2
,, ®Ö
,, ,, † 1/2 ®Ö
--------------------------------
1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3 ¯Öéš
53
--------------------------------
¾Ö×ÝÖÔŸÖ---ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ
¯Ö׸³ÖÖ×ÂÖÛú ¿Ö²¤ ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖÛúÖ
¯ÖεÖÖêÝÖ ×ÛúÃÖß ÃÖÓܵÖÖÛúÖ ÃÖÓܵÖÖŸÖã»µÖ ‘ÖÖŸÖ Ûú¸®ÖêÛê †£ÖÔ´ÖêÓ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ
Æî |
ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ --- ®Ö ®Ö ®Ö ÛúÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¹ý¯Ö Æî |
‡ÃÖ ÃÖ´²Ö®¬Ö´ÖêÓ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ
×¾Ö¸»Ö®Ö-¤êµÖ ‘±î»ÖÖ®ÖÖ
†Öî¸ ¤ê®ÖÖ’
®ÖÖ´ÖÛú ¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖ ˆ»»ÖêÜÖ †ÖµÖÖ Æî | ×ÛúÃÖß ÃÖÓܵÖÖÛúÖ ‘×¾Ö¸»Ö®Ö’ Ûú¸®ÖÖ
¾Ö ±î»ÖÖ®ÖÖ †£ÖÖÔŸÖË ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖÛúÖê ‹Ûú‹Ûú´Öê †»ÖÝÖ Ûú¸®ÖÖ Æî | •ÖîÃÖê, ®Ö Ûê
×¾Ö¸»Ö®ÖÛúÖ †£ÖÔ Æî ---
11111...... ®Ö ¾ÖÖ¸
‘¤êµÖ’ †£ÖÔ Æî ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ
†ÓÛúÖê´Öê ¯ÖΟµÖêÛú ãÖÖ®Ö ¯Ö¸ ‹ÛúÛúß •ÖÝÖÆ ®Ö ( ×¾Ö¾Ö×õÖŸÖ ÃÖÓܵÖÖ ) ÛúÖê ¸ÜÖ
¤ê®ÖÖ | ×±ú¸ ˆÃÖ ×¾Ö¸»Ö®Ö-¤êµÖÃÖê ˆ¯Ö»Ö²¬Ö ÃÖÓܵÖÖ†ÖÓêÛúÖê ¯Ö¸Ã¯Ö¸ ÝÖãÞÖÖ Ûú¸
¤ê®ÖêÃÖê ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖÛúÖ ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖê •ÖÖŸÖÖ Æî, †Öî¸ µÖÆß
ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖÛúÖ ¯ÖÎ£Ö´Ö ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ÛúÆ»ÖÖŸÖÖ Æî | •ÖîÃÖê, ®Ö ÛúÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ®Ö®Ö |
×¾Ö¸»Ö®Ö-¤êµÖÛúß ‹Ûú¾ÖÖ¸ ¯Öã®Ö: ¯ÖÎ×ÛεÖÖ
Ûú¸®ÖêÃÖê, †£ÖÖÔŸÖË ®Ö®Ö ÛúÖê »ÖêÛú¸ ¾ÖÆß ×¾Ö¬ÖÖ®Ö
×±ú¸ Ûú¸®ÖêÃÖê,
®Ö®Ö
׫ŸÖßµÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ (®Ö®Ö) ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî | ‡ÃÖß
×¾Ö¬ÖÖ®ÖÛúÖê ¯Öã®Ö: ‹Ûú¾ÖÖ¸ Ûú¸®ÖêÃÖê ®Ö ÛúÖ ŸÖéŸÖßµÖ ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ
®Ö®Ö
®Ö®Ö (®Ö®Ö) ¯ÖÎÖ¯ŸÖ
ÆÖêŸÖÖ Æî |
(®Ö®Ö)
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ˆŒŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ ŸÖß®Ö
¾ÖÖ¸ÃÖê †×¬ÖÛú †¯Öê×õÖŸÖ ®ÖÆßÓ Æã†Ö Æî | ×Ûú®ŸÖã ŸÖéŸÖßµÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖÛúÖ ˆ»»ÖêÜÖ †®ÖêÛú¾ÖÖ¸1 ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓ ¾Ö †ÃÖÓܵÖÖŸÖ ¾Ö
†®Ö®ŸÖÛê ÃÖ´²ÖÓ¬Ö´ÖêÓ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî | ‡ÃÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÃÖê ×ÛúŸÖ®Öß ÃÖÓܵÖÖ
¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖß Æî, ‡ÃÖÛúÖ –ÖÖ®Ö ‡ÃÖ ²ÖÖŸÖÃÖê ÆÖê ÃÖÛúŸÖÖ Æî ×Ûú 2 ÛúÖ
ŸÖéŸÖßµÖ¾ÖÖ¸ ¾Ö×ÝÖÔŸÖÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¹ý¯Ö 256 256 ÆÖê •ÖÖŸÖÖ Æî |
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ Ûú£Ö®ÖÃÖê ïÖ™
Æî ×Ûú ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ¸ ‘ÖÖŸÖÖÓÛú ×ÃÖ¨Ö®ŸÖÃÖê ¯ÖæÞÖÔŸÖ: ¯Ö×¸×“ÖŸÖ £Öê | •ÖîÃÖê ---
(1) †´Ö †®Ö = † ´Ö + ®Ö
(2) †´Ö/†®Ö = † ´Ö - ®Ö
(3) (†´Ö)®Ö = †´Ö®Ö
--------------------------------
1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé 20
†Öפ.
--------------------------------
ˆŒŸÖ
×ÃÖ¨Ö®ŸÖÖêÓÛê ¯ÖεÖÖêÝÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ˆ¤ÖƸÞÖ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ †®ÖêÛú ÆîÓ | ‹Ûú ¸Öê“ÖÛú
ˆ¤ÖƸÞÖ ×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ÛúÖ Æî1- ÛúÆÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú 2 Ûê 7 ¾Öê
¾ÖÝÖÔ´ÖêÓ 2 Ûê ”š¾ÖêÓ ¾ÖÝÖÔÛúÖ ³ÖÖÝÖ ¤ê®ÖêÃÖê 2 ÛúÖ
”š¾ÖÖÓ ¾ÖÝÖÔ »Ö²¬Ö †ÖŸÖÖ Æî | †£ÖÖÔŸÖË-
2 2 7/2
2 6 = 2 2 6
•Ö²Ö ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛúÖ –ÖÖ®Ö ®ÖÆßÓ ÆÖê ¯ÖÖµÖÖ ŸÖ²Ö ׫ÝÖãÞÖÛδÖ
†Öî¸ †¬ÖÔÛδÖÛúß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ‹Ó ( The operations of duplation and mediation )
´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ÃÖ´Ö—Öß •ÖÖŸÖß £Öß | ³ÖÖ¸ŸÖßµÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖêÓ ‡®Ö
¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓÛúÖ ÛúÖê‡Ô ×“Ö®Æ ®ÖÆßÓ ×´Ö»ÖŸÖÖ | ×Ûú®ŸÖã ‡®Ö ¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓÛúÖê
×´ÖÁÖ †Öî¸ µÖæ®ÖÖ®ÖÛê ×®Ö¾ÖÖÃÖß ´ÖÆŸ¾Ö¯ÖæÞÖÔ ×ÝÖ®ÖŸÖê £Öê, †Öî¸ ˆ®ÖÛê
†ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ÝÖή£ÖÖÓê´ÖêÓ ¾Öê ŸÖ¤®ÖãÃÖÖ¸ þÖßÛúÖ¸ Ûúß •ÖÖŸÖß £Öß |
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ‡®Ö ¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖÓêÛê ×“Ö®Æ ×´Ö»ÖŸÖê ÆîÓ | ¤Öê µÖÖ †®µÖ ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê
ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖÛúÖ ×¾Ö“ÖÖ¸ ×®Ö¿“ÖµÖŸÖ: ׫ÝÖãÞÖÛδÖÛúß ¯ÖÎ×ÛεÖÖÃÖê Æß
¯Ö׸ñãú×™ŸÖ Æã†Ö ÆÖêÝÖÖ, †Öî¸ µÖÆ ×«ÝÖãÞÖÛδÖÛúß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖÛê
¯ÖΓÖÖ¸ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´ÖêÓ †¾Ö¿µÖ ¯ÖΓÖ×»ÖŸÖ ¸Æß ÆÖêÝÖß | ˆÃÖß ¯ÖÎÛúÖ¸
†¬ÖÔÛ뫅 ¯Ö¨×ŸÖÛúÖ ³Öß ¯Ö¢ÖÖ “Ö»ÖŸÖÖ Æî |
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ‡ÃÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖê Æ´Ö 2, 3, 4 †Öפ †Ö¬ÖÖ¸¾ÖÖ»Öê »Ö‘Öã׸Œ£Ö
×ÃÖ¨Ö®ŸÖ´ÖêÓ ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖßÛéúŸÖ ¯ÖÖŸÖê ÆîÓ |
»Ö‘Öã׸Œ£Ö ( Logarithm)
¬Ö¾Ö»ÖÖ´Öê
×®Ö´®Ö ¯ÖÖ׸³ÖÖ×ÂÖÛú ¿Ö²¤ÖêÛê »ÖõÖÞÖ ¯ÖÖµÖê •ÖÖŸÖê Æî 2 ___
(1) †¬ÖÔ“”ê¤__ ו֮֟Öß ¾ÖÖ¸ ‹Ûú
ÃÖÓܵÖÖ ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ †Ö¬Öß †Ö¬Öß Ûúß •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ Æî, ˆŸÖ®Öê ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖÛê †¬ÖÔ“”ê¤
ÛúÆê •ÖÖŸÖê Æî •ÖîÃÖê - 2 ´Ö Ûê †¬ÖÔ“”ê¤ = ´Ö
†¬ÖÔ“”ê¤ÛúÖ
ÃÖÓÛÓêúŸÖ †”ê ´ÖÖ®ÖÛú¸ Æ´Ö ‡ÃÖê
†Ö¬Öã×®ÖÛú ¯Ö¨×ŸÖ´Öê ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ ¸ÜÖ ÃÖÛúŸÖê Æî _ Ûú ÛúÖ †”ê (
µÖÖ †”ê Ûú ) = »Ö׸ ÛúÖ µÖÆÖÑ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛúÖ †Ö¬ÖÖ¸ 2 Æî |
(2) ¾ÖÝÖÔ¿Ö»ÖÖÛúÖ__ ×ÛúÃÖß
ÃÖÓܵÖÖÛê †¨Ô“”ê¤ÖêÓÛêÛú ˆÃÖ ÃÖÓܵÖÖÛúß ¾ÖÝÖÔ¿Ö»ÖÖÛúÖ ÆÖêŸÖß Æî | •ÖîÃÖê
_ Ûú Ûúß ¾ÖÝÖÔ¿Ö»ÖÖÛúÖ = ¾Ö¿Ö Ûú = »Ö׸ »Ö׸ ÛúÖ µÖÆÖÑÑ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛúÖ
†Ö¬ÖÖ¸ 2 Æî |
(3) סÖÛú“”ê¤ 3___ו֮֟Öê
¾ÖÖ¸ ‹Ûú ÃÖÓܵÖÖ ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ 3 ÃÖê ×¾Ö³ÖÖ×•ÖŸÖ Ûúß •ÖÖŸÖß Æî, ˆŸÖ®Öê ˆÃÖ
ÃÖÓܵÖÖÛê סÖÛú“”ê¤ ÆÖêŸÖê Æî | •ÖîÃÖê
_ Ûú Ûê סÖÛú“”ê¤ = ס֔ê Ûú = »Ö׸ 3 Ûú | µÖÆÖÑÑ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛúÖ †Ö¬ÖÖ¸ 3
Æî | 1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öéš.253 †Öפ. 2. ¬Ö¾Ö»ÖÖ ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 21 †Öפ. 3.
¬Ö¾Ö»ÖÖ ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 56.
(4) “ÖŸÖã£ÖÔ“”ê¤ 1___ו֮֟Öê
¾ÖÖ¸ ‹Ûú ÃÖÓܵÖÖ ˆ¢Ö¸ÖêŸÖ¸ 4 ÃÖê ×¾Ö³ÖÖ×•ÖŸÖ Ûúß •ÖÖ ÃÖÛúŸÖß Æî, ˆŸÖ®Öê
ÃÖÓܵÖÖÃÖê “ÖŸÖã£ÖÔ“”ê¤ ÆÖêŸÖê Æî | •ÖîÃÖê _ Ûú Ûê “ÖŸÖã£ÖÔ“”Óê¤ = “Ö”ê Ûú = »Ö׸ 4 Ûú | µÖÆÖÑÑ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛúÖ
†Ö¬ÖÖ¸ 4 Æî |
¬Ö¾Ö»ÖÖ´Öê
»Ö‘Öã׸Œ£ÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ×®Ö´®Ö ¯Ö׸ÞÖÖ´ÖÖêÓÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî __
1.
2 »Ö׸ ( ´Ö/®Ö) = »Ö׸ ´Ö _
»Ö׸ ®Ö
2.
»Ö׸
(´Ö.®Ö) = »Ö׸ ´Ö + »Ö׸ ®Ö
3.
3 2 »Ö׸ ´Ö = ´Ö | µÖÆÖÑ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛúÖ †Ö¬ÖÖ¸ 2 Æî |
4.
4 »Ö׸ (Ûú Ûú)2 = 2 Ûú »Ö׸ Ûú
5.
5 »Ö׸ »Ö׸ (Ûú/Ûú)2 =
»Ö׸ Ûú +1+»Ö׸ »Ö׸ Ûú,
( ¾ÖÖ‡ †Öê¸ )
=»Ö׸ ( 2 Ûú »Ö׸ Ûú )
= »Ö׸ Ûú + »Ö׸ 2
+ »Ö׸ »Ö׸ Ûú
= »Ö׸ Ûú + 1+
»Ö׸ »Ö׸ Ûú |
“Öæ×Ûú »Ö׸ 2= 1, •Ö²Ö
×Ûú †Ö¬ÖÖ¸ 2 Æî |
Ûú
Ûú
6. { Ûú } =
Ûú Ûú
6 »Ö׸ Ûú
Ûú »Ö׸
Ûú
7.
´ÖÖ®Ö»ÖÖê † ‹Ûú ÃÖÓܵÖÖ Æî, ŸÖÖê---
† ÛúÖ ¯ÖÎ£Ö´Ö ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ =
†† ²Ö ( ´ÖÖ®Ö»ÖÖê )
,, ׫ŸÖßµÖ
,, = ²Ö²Ö = ³Ö ,,
,, ŸÖéŸÖßµÖ
,, = ³Ö³Ö
= ´Ö ,,
¬Ö¾Ö»ÖÖ´Öê
×®Ö´®Ö ¯Ö׸ÞÖÖ´Ö ×¤µÖê ÝÖµÖê ÆîÓ7 ---
(Ûú)
»Ö׸ ²Ö = † »Ö׸ †
(ÜÖ)
»Ö׸ »Ö׸ ²Ö = »Ö׸ † + »Ö׸ »Ö׸ †
(ÝÖ)
»Ö׸ ³Ö = ²Ö
»Ö׸ ²Ö
--------------------------------
1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé.
56. 2 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 60 3 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 55. 4. ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ
3, ¯Öé. 21 †Öפ. 5. ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖË. 6. ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖ | µÖÆÖÑ µÖÆ ²ÖÖŸÖ ˆ»»ÖêÜÖ®ÖßµÖ
Æî ×Ûú ÝÖή£Ö´ÖêÓ µÖê »Ö‘Öã׸Œ£Ö ¯ÖæÞÖÖÔÛúÖêÓ ŸÖÛú Æß ¯Ö×¸×´ÖŸÖ ®ÖÆßÓ Æî |
ÃÖÓܵÖÖ Ûú ÛúÖê‡Ô ³Öß ÃÖÓܵÖÖ ÆÖê ÃÖÛúŸÖß Æî | ÛúÛú
¯ÖÎ£Ö´Ö ¾Ö×ÝÖÔŸÖÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¸Ö×¿Ö †Öî¸ ( ÛúÛú)ÛúÛú
׫ŸÖßµÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖ ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¸Ö×¿Ö Æî |
7. ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 21. 24.
--------------------------------
(
‘Ö ) »Ö׸ »Ö׸ ³Ö = »Ö׸ ²Ö + »Ö׸ »Ö׸ ²Ö
= »Ö׸ † + »Ö׸ »Ö׸ † + †
»Ö׸ †
( › ) »Ö׸ ´Ö = ³Ö »Ö׸ ³Ö
(
“Ö ) »Ö׸ »Ö׸ ´Ö = »Ö׸ ³Ö + »Ö׸ »Ö׸ ³Ö | ‡ŸµÖÖפ
(
8 ) 1 »Ö׸ »Ö׸ ´Ö< ²Ö 2
‡ÃÖ †ÃÖÖ´µÖŸÖÖÃÖê ×®Ö´®Ö †ÃÖÖ´µÖŸÖÖ †ÖŸÖß
Æî---
²Ö »Ö׸ ²Ö + »Ö׸ ²Ö + »Ö׸ »Ö׸ ²Ö < ²Ö2
׳֮®Ö
--- †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ´ÖêÓ ×³Ö®®ÖÖêÓÛúß ´ÖÖî×»ÖÛú
¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓ, ו֮ÖÛúÖ –ÖÖ®Ö ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ÝÖÎÆÞÖ Ûú¸ ×»ÖµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî, Ûê
†×ŸÖ׸ŒŸÖ µÖÆÖÑÑ Æ´Ö ×³Ö®®ÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß †®ÖêÛú ‹êÃÖê ¸Öê“ÖÛú ÃÖæ¡Ö ¯ÖÖŸÖê ÆîÓ •ÖÖê
†®µÖ ×ÛúÃÖß ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²Ö¬Öß –ÖÖŸÖ ÝÖή£Ö´ÖêÓ ®ÖÆßÓ ×´Ö»ÖŸÖê | ‡®Ö´ÖêÓ ×®Ö´®Ö
×»Ö×ÜÖŸÖ ˆ»»ÖêÜÖ®ÖßµÖ Æî ---
( 1) 2 ®Ö2 = ®Ö + ®Ö
®Ö + ( ®Ö/¯Ö
) ¯Ö+1
(2)3 ´ÖÖ®Ö»ÖÖê ×Ûú ×ÛúÃÖß ‹Ûú ÃÖÓܵÖÖ ´Ö ´ÖêÓ ¤, ¤’
‹êÃÖê ¤Öê ³ÖÖ•ÖÛúÖêÓ ÛúÖ ³ÖÖÝÖ ×¤µÖÖ ÝÖµÖÖ †Öî¸ ˆ®ÖÛê ÛδֿÖ: Ûú †Öî¸ Ûú’ µÖê
¤Öê »Ö²¬Ö ( µÖÖ ×³Ö®®Ö ) ˆŸ¯Ö®®Ö Æã‹ | ×®Ö´®Ö ×»Ö×ÜÖŸÖ ÃÖæ¡Ö´ÖêÓ ´Ö Ûê ¤ + ¤’ ÃÖê
³ÖÖÝÖ ¤ê®Öê ÛúÖ ¯Ö׸ÞÖÖ´Ö ×¤µÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ---
´Ö
= Ûú’
¤+¤’ ( Ûú’/Ûú) + 1
†£Ö¾ÖÖ = Ûú
1 + (
Ûú/Ûú’)
(
3) 4 µÖפ
´Ö = Ûú, †Öî¸ ´Ö’ =
Ûú’,
ŸÖÖê --- ¤ ( Ûú-Ûú’
) + ´Ö’ = ´Ö
¤ ¤
(
4) 5 µÖפ
† =Ûú, ŸÖÖê- † = Ûú - Ûú
²Ö ²Ö+ ²Ö ®Ö+1
®Ö
--------------------------------
1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3,
¯Öé.24. 2. ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3,
¯Öé. 46.
3 ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé
46. 4. ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé.
47, ÝÖÖ£ÖÖ 27.
5 ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 46, ÝÖÖ£ÖÖ
24.
--------------------------------
†Öî¸ †
= Ûú + Ûú
²Ö-²Ö ®Ö-1
®Ö
(
5) 1 µÖפ † = Ûú, ŸÖÖê - †
=Ûú- Ûú
²Ö ²Ö+ÃÖ ²Ö + 1
ÃÖ
†Öî¸
† = Ûú + Ûú
²Ö-ÃÖ ²Ö - 1
ÃÖ
( 6) 2 µÖפ
† = Ûú, †Öî¸ † =
Ûú + ÃÖ, ŸÖÖê-
²Ö ²Ö’
²Ö = ²Ö - ²Ö
Ûú +1
ÃÖ
†Öî¸ µÖפ
† = Ûú - ÃÖ, ŸÖÖê --- ²Ö’ =
²Ö + ²Ö
²Ö Ûú - 1
ÃÖ
(
7)3 µÖפ
† - Ûú, †Öî¸ †
¤æÃÖ¸Ö ×³Ö®®Ö Æî, ŸÖÖê---
²Ö ²Ö’
† - †
= Ûú (²Ö’-²Ö)
²Ö ²Ö’ ²Ö’
(
8) 4 µÖפ
† = Ûú,
†Öî¸ † = Ûú - ÃÖ, ŸÖÖê --- ÜÖ = ²Ö ÃÖ
²Ö ²Ö+ÜÖ Ûú-ÃÖ
(
9) 5 µÖפ †
=Ûú, †Öî¸ †
= Ûú + ÃÖ, ŸÖÖê-ÜÖ = ²Ö ÃÖ
²Ö ²Ö-ÜÖ Ûú+ ÃÖ
(
10)6 µÖפ †
= Ûú, †Öî¸ † =
Ûú’,
ŸÖÖê-Ûú’=
Ûú- Ûú ÃÖ
²Ö ²Ö+ÃÖ ²Ö+ÃÖ
--------------------------------
1 ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 46, ÝÖÖ£ÖÖ
24. 2. ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 46, ÝÖÖ£ÖÖ 25.
3 ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 46, ÝÖÖ£ÖÖ
28. 4. ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 48 ÝÖÖ£ÖÖ 29.
5 ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 49, ÝÖÖ£ÖÖ
30. 6. ³ÖÖÝÖ 3, ¯Öé. 49 ÝÖÖ£ÖÖ 31.
--------------------------------
(11)1 µÖפ †
=Ûú, †Öî¸ † = Ûú’, ŸÖÖê-Ûú’ = Ûú + Ûú ÃÖ
²Ö ²Ö-ÃÖ ²Ö-ÃÖ
µÖê
ÃÖ²Ö ¯Ö׸ÞÖÖ´Ö ¬Ö¾Ö»ÖÖÛê †®ŸÖÝÖÔŸÖ
†¾ÖŸÖ¸ÞÖÖêÓ´ÖêÓ ¯ÖÖµÖê •ÖÖŸÖê ÆîÓ | ¾Öê ×ÛúÃÖß ³Öß ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß –ÖÖŸÖ ÝÖή£Ö´ÖêÓ ®ÖÆßÓ
×´Ö»ÖŸÖê | µÖê †¾ÖŸÖ¸ÞÖ †¬ÖÔ´ÖÖÝÖ¬Öß †£Ö¾ÖÖ ¯ÖÎÖÛéúŸÖ ÝÖή£ÖÖêÓÛê Æî | †®Öã´ÖÖ®Ö µÖÆß ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú
¾Öê ÃÖ²Ö ×Ûú®Æß ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß •Öî®Ö ÝÖή£ÖÖêÓÃÖê, †£Ö¾ÖÖ ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖßÔ
™ßÛúÖ†ÖÓêÃÖê ×»ÖµÖê ÝÖµÖê ÆîÓ | ¾Öê †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ ×ÛúÃÖß ÃÖÖ¸³ÖæŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖ
×®Ö¹ý¯ÖÞÖ ®ÖÆßÓ Ûú¸ŸÖê | ¾Öê ˆÃÖ ÛúÖ»ÖÛê ôÖÖ¸ÛúÖ¾Ö¿ÖêÂÖ Æî •Ö²Ö ×Ûú ³ÖÖÝÖ ‹Ûú
Ûúך®Ö †Öî¸ ÁÖ´ÖÃÖÖ¬µÖ ×¾Ö¬ÖÖ®Ö ÃÖ´Ö—ÖÖ •ÖÖŸÖÖ £ÖÖ | µÖê ×®ÖµÖ´Ö ×®Ö¿“ÖµÖŸÖ:
ˆÃÖ ÛúÖ»Ö Ûê Æî •Ö²Ö ×Ûú ¤Ö¿Ö×´ÖÛú-ÛδÖÛúÖ †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖÛúß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ†ÖêÓ´Öê
ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ÃÖã¯ÖΓÖ×»ÖŸÖ ®ÖÆßÓ Æã†Ö £ÖÖ |
¡Öî¸Ö׿ÖÛú --- ¡Öî¸Ö׿ÖÛú ×ÛεÖÖÛúÖ
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ †®ÖêÛú ãÖÖ®ÖÖê ¯Ö¸ ˆ»»ÖêÜÖ †Öî¸ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî2
| ‡ÃÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ¯ÖÖ׸³ÖÖ×ÂÖÛú ¿Ö²¤ ÆîÓ - ±ú»Ö, ‡“”Ö †Öî¸ ¯ÖδÖÖÞÖ -
šßÛú ¾ÖÆß •ÖÖê –ÖÖŸÖ ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖêÓ ×´Ö»ÖŸÖê ÆîÓ | ‡ÃÖÃÖê †®Öã´ÖÖ®Ö ÆÖêŸÖÖ Æî
×Ûú ¡Öî¸Ö׿ÖÛú ×ÛεÖÖÛúÖ –ÖÖ®Ö †Öî¸ ¾µÖ¾ÖÆÖ¸ ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´Öê ¤Ö¿Ö×´ÖÛú ÛδÖÛê
†Ö×¾ÖÂÛúÖ¸ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ ³Öß ¾ÖŸÖÔ´ÖÖ®Ö £ÖÖ |
†®Ö®ŸÖ
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖÓêÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ --- ‘†®Ö®ŸÖ’ ¿Ö²¤ÛúÖ ×¾Ö×¾Ö¬Ö †£ÖÖêÔÃÖê ¯ÖεÖÖêÝÖ ÃÖ³Öß
¯ÖÎÖ“Öß®Ö •ÖÖןֵÖÖêÛê ÃÖÖ×ÆŸµÖ´Öê ¯ÖÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî | ×Ûú®ŸÖã ˆÃÖÛúß šßÛú
¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ †Öî¸ ÃÖ´Ö—Ö¤Ö¸ß ²ÖÆãŸÖ ¯Öß”ê †Ö‡Ô | µÖÆ Ã¾ÖÖ³ÖÖ×¾ÖÛú Æß Æî ×Ûú
†®Ö®ŸÖÛúß šßÛú ¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ ˆ®Æß »ÖÖêÝÖÖê«Ö¸Ö ×¾ÖÛú×ÃÖŸÖ Æã‡Ô •ÖÖê ²Ö›ß
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÖÛú ¯ÖεÖÖêÝÖ Ûú¸ŸÖê £Öê, µÖÖ †¯Ö®Öê ¤¿ÖÔ®Ö¿ÖÖáִÖê ‹êÃÖß
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛê †³µÖÃŸÖ £Öê | ×®Ö´®Ö ×¾Ö¾Öê“Ö®ÖÃÖê µÖÆ ¯ÖÎÛú™ ÆÖê •ÖÖµÖÝÖÖ ×Ûú ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´Öê •Öî®Ö ¤Ö¿ÖÔ×®ÖÛú †®Ö®ŸÖÃÖê
ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö ¸ÜÖ®Öê¾ÖÖ»Öß ×¾Ö×¾Ö¬Ö ³ÖÖ¾Ö®ÖÖ†ÖÓêêÛúÖê ÁÖêÞÖß²Ö¨ Ûú¸®Öê ŸÖ£ÖÖ
ÝÖÞÖ®ÖÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß †®Ö®ŸÖÛúß šßÛú
¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ ×®ÖÛúÖ»Ö®Öê´Öê ÃÖ±ú»Ö Æã‹ |
²Ö›ß
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ˆ×“ÖŸÖ ÃÖÓÛêŸÖÖêÛúÖ ŸÖ£ÖÖ †®Ö®ŸÖÛúß
Ûú»¯Ö®ÖÖÛúÖ ×¾ÖÛúÖÃÖ ŸÖ³Öß ÆÖêŸÖÖ Æî •Ö²Ö ×®ÖÝÖæœ ŸÖÛÔ †Öî¸ ×¾Ö“ÖÖ¸ ‹Ûú
×¾Ö¿ÖêÂÖ ˆ““Ö ÁÖêÞÖָ߯ ¯ÖÆã“Ö •ÖÖŸÖê Æî | µÖæ¸Öê¯Ö´Öê †Ö×ÛÔ״֛ߕ֮Öê ÃÖ´Öã¦
ŸÖ™Ûúß ¸êŸÖêÛê ÛúÞÖÖêÛê ¯ÖδÖÖÞÖÛê
†Ó¤Ö•Ö »ÖÝÖÖ®ÖêÛúÖ ¯Öε֟®Ö ×ÛúµÖÖ £ÖÖ †Öî¸ µÖæ®ÖÖ®ÖÛê ¤Ö¿ÖÔ×®ÖÛúÖê®Öê †®Ö®ŸÖ
‹¾ÖÓ ÃÖß´ÖÖ ( limit) Ûê ×¾ÖÂÖµÖ´Öê ×¾Ö“ÖÖ¸ ×ÛúµÖÖ £ÖÖ | ×Ûú®ŸÖã ˆ®ÖÛê ¯ÖÖÃÖ
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛúÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê
µÖÖêÝµÖ ÃÖÓÛêŸÖ ®ÖÆß £Öê | ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´Öê ×Æ®¤æ,•Öî®Ö †Öî¸ ²ÖÖî¨ ¤Ö¿ÖÔ×®ÖÛúÖêÓ®Öê
²ÖÆãŸÖ ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ †Öî¸ ˆÃÖ ÛúÖµÖÔÛê ×»ÖµÖê ˆ®ÆÖê®Öê
ˆ×“ÖŸÖ ÃÖÓÛêŸÖÖêÛúÖ ³Öß †Ö×¾ÖÂÛúÖ¸ ×ÛúµÖÖ | ×¾Ö¿ÖêÂÖŸÖ: •Öî×®ÖµÖÖê®Öê
»ÖÖêÛú³Ö¸Ûê ÃÖ´ÖÃŸÖ •Öß¾ÖÖê, ÛúÖ»Ö-¯ÖΤê¿ÖÖê †Öî¸ õÖê¡Ö †£Ö¾ÖÖ
†ÖÛúÖ¿Ö-¯ÖΤê¿ÖÖê †ÖפÛê ¯ÖδÖÖÞÖÛúÖ
×®Ö¹ý¯ÖÞÖ Ûú¸®ÖêÛúÖ ¯Öε֟®Ö ×ÛúµÖÖ Æî |
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖµÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê ŸÖß®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ´Öê »ÖÖµÖê ÝÖµÖê ---
( 1 ) ¤Ö¿Ö×´ÖÛú-Û뫅 ( place-value notation ) --- וÖÃÖ´Öê
¤¿Ö´ÖÖ®ÖÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ | ‡ÃÖ ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö´Öê µÖÆ ²ÖÖŸÖ ˆ»»ÖêÜÖ®ÖßµÖ Æî
×Ûú ¤¿Ö´ÖÖ®ÖÛê1 †Ö¬ÖÖ¸¯Ö¸ 10/140 •ÖîÃÖß
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖÓêÛúÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®Öê¾ÖÖ»Öê ®ÖÖ´Ö Ûú×»¯ÖŸÖ ×ÛúµÖê ÝÖµÖê |
(2) ‘ÖÖŸÖÖÓÛú
×®ÖµÖ´Ö ( Law of indices ¾ÖÝÖÔ ÃÖÓ¾ÖÝÖÔ ) ÛúÖ
ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛúÖê ÃÖæõ´ÖŸÖÖÃÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ |
•ÖîÃÖê ---
( † ) 22 =
4
( ²Ö ) (22)
22 =44=256
( ÃÖ ) { (22)22 } { (22)22
} = 256256
וÖÃÖÛúÖê 2 ÛúÖ ŸÖéŸÖßµÖ
¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ÛúÆÖ Æî | µÖÆ ÃÖÓܵÖÖ ÃÖ´ÖÃŸÖ ×¾ÖÀ¾Ö ( universe ) Ûê ×¾ÖªãŸÛúÞÖÖê ( protons
electrons ) Ûúß ÃÖÓܵÖÖÃÖê ²Ö›ß Æî |
(
3) »Ö‘Öã׸Œ£Ö (
†¬ÖÔ“”ê¤ ) †£Ö¾ÖÖ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÛê »Ö¬Öã׸Œ£Ö ( †¬ÖÔ“”ꤿֻÖÖÛúÖ ) ÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛê ×¾Ö“ÖÖ¸ÛúÖê ”Öê™ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖÓêÛê ×¾Ö“ÖÖ¸´Öê ˆŸÖÖ¸®Öê ×»ÖµÖê ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ |
•ÖîÃÖê ---
( † ) »Ö׸2 22 = 2
(
²Ö ) »Ö׸2
»Ö׸2 44 =3
(
ÃÖ ) »Ö׸2
»Ö׸2 256256 =11
‡ÃÖ´Öê
ÛúÖê‡Ô †Ö¿“ÖµÖÔ ®ÖÆß ×Ûú †Ö•Ö ³Öß ÃÖÓܵÖÖê†ÖêÛúÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê Æ´Ö
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ŸÖß®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸Öê´ÖêÃÖê ×ÛúÃÖß ‹Ûú ¯ÖÎÛúÖ¸ÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ Ûú¸ŸÖê Æî |
¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛ뫅 ÃÖ´ÖÃŸÖ ¤ê¿ÖÖÓêÛúß ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ ÃÖ´¯Ö×¢Ö ²Ö®Ö ÝÖ‡Ô Æî | •ÖÆÖ ²Ö›ß
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛúÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ Ûú¸®ÖÖ ¯Ö›ŸÖÖ Æî, ¾ÖÆÖ »Ö‘Öã׸Œ£ÖÖÓêÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ
•ÖÖŸÖÖ Æî | †Ö¬Öã×®ÖÛú ¯Ö¤Ö£ÖÔ×¾Ö–ÖÖ®Öê ¯Ö׸ÞÖÖ´ÖÖê ( magnitudes ) ÛúÖê ¾µÖŒŸÖ
Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ‘ÖÖŸÖÖÓÛú ×®ÖµÖ´ÖÖêÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ÃÖ¾ÖÔÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ Æî | 1
²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†Öê ŸÖ£ÖÖ ÃÖÓܵÖÖ-®ÖÖ´ÖÖêÛê
ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö´Öê ×¾Ö¿ÖêÂÖ •ÖÖ®Ö®ÖêÛê ×»ÖµÖê ¤ê×ÜÖµÖê ¤¢Ö †Öî¸ ×ÃÖÓÆ ÛéúŸÖ ×Æ®¤æ
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛúÖ ‡×ŸÖÆÖÃÖ ( History of
Hindu Mathematic ), ´ÖÖêŸÖß»ÖÖ»Ö ²Ö®Ö¸ÃÖߤÖÃÖ, »ÖÖÆÖî¸, «Ö¸Ö ¯ÖÎÛúÖ׿֟Ö, ³ÖÖÝÖ
1, ¯Öé 11 †Öפ. ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ--- ×¾ÖÀ¾Ö³Ö¸Ûê ×¾ÖªãŸÖÛúÞÖÖêÛúß1 ÝÖÞÖ®ÖÖ
Ûú¸Ûê ˆÃÖÛúß ¾µÖ׌ŸÖ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ Ûúß ÝÖ‡Ô Æî --- 136. 2 256 ŸÖ£ÖÖ,
¹ýœ ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÛê ×¾ÖÛú»Ö®Ö (distribution of primes) ÛúÖê ÃÖæ×“ÖŸÖ Ûú¸®Öê¾ÖÖ»Öß
ÃŒµÖæ•Ö ÃÖÓܵÖÖ (skewes number) ×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê ¾µÖŒŸÖ Ûúß •ÖÖŸÖß Æî -
34
10
10
10
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖê
¾µÖŒŸÖ Ûú¸®Öê¾ÖÖ»Öê ˆ¯ÖµÖãÔŒÛúŸÖ ÃÖ´ÖÃŸÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ÖêÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´Öê
×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî | ‡ÃÖÃÖê ïÖ™ Æî ×Ûú ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´Öê ˆ®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ÖêÛúÖ –ÖÖ®Ö
ÃÖÖŸÖ¾Öß ¿ÖŸÖײ¤ÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ Æß ÃÖ¾ÖÔ-ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ ÆÖê ÝÖµÖÖ £ÖÖ |
†®Ö®ŸÖÛúÖ ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖ
¬Ö¾Ö»ÖÖ´Öê
†®Ö®ŸÖÛúÖ ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖ ¯ÖÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî | ÃÖÖ×ÆŸµÖ´Öê †®Ö®ŸÖ ¿Ö²¤ÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ
†®ÖêÛú †£ÖÖêÔ´Öê Ææ†Ö Æî | •Öî®Ö ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖ´Öê ˆ®Ö ÃÖ²ÖÛúÖ ¬µÖÖ®Ö ¸ÜÖÖ ÝÖµÖÖ
Æî •Öî®Ö ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖÛê †®ÖãÃÖÖ¸ †®Ö®ŸÖÛê ݵÖÖ¸Æ ¯ÖÎÛúÖ¸ Æî | •ÖîÃÖê ---
( 1 ) ®ÖÖ´ÖÖ®Ö®ŸÖ 2 ___ ®ÖÖ´ÖÛúÖ †®Ö®ŸÖ | ×ÛúÃÖß ³Öß
¾ÖßÖã-ÃÖ´Öã¤ÖµÖÛê µÖ£ÖÖ£ÖÔŸÖ: †®Ö®ŸÖ
ÆÖê®Öê µÖÖ ®Ö ÆÖê®ÖêÛúÖ ×¾Ö“ÖÖ¸ ×ÛúµÖê ×¾Ö®ÖÖ Æß Ûê¾Ö»Ö ˆÃÖÛúÖ ²ÖÆ㟾Ö
¯ÖÎÝÖ™ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ ²ÖÖê»Ö“ÖÖ»Ö´Öê †£Ö¾ÖÖ †²ÖÖê¬Ö ´Ö®ÖãµÖÖê «Ö¸Ö
µÖÖ ˆ®ÖÛê ×»ÖµÖ, †£Ö¾ÖÖ ÃÖÖ×ÆŸµÖ´Öê, ˆÃÖê †®Ö®ŸÖ ÛúÆ ×¤µÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî | ‹êÃÖß
†¾ÖãÖÖ´Öê `†®Ö®ŸÖ` ¿Ö²¤ÛúÖ †£ÖÔ ®ÖÖ´Ö´ÖÖ¡ÖÛúÖ †®Ö®ŸÖ Æî | ‡ÃÖê Æß ®ÖÖ´ÖÖ®Ö®ŸÖ
ÛúÆŸÖê Æî |
1
ÃÖÓܵÖÖ 136.2/256 ÛúÖê ¤Ö¿Ö×´ÖÛú-ÛδÖÃÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®Öê ¯Ö¸ •ÖÖê ¯ÖÎÛú™ ÆÖêŸÖÖ
Æî ¾ÖÆ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ Æî-
15,747,724,136,275,002,577,605,653,961,181,555,468,044,717,914,572,116,709,336,231,425,076,185,631,031,296,
‡ÃÖÃÖê
¤êÜÖÖ •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ Æî ×Ûú 2 ÛúÖ ŸÖéŸÖßµÖ ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖ¾Ö×ÝÖÔŸÖ †£ÖÖÔŸÖ 256256
×¾ÖÀ¾Ö³Ö¸Ûê ÃÖ´ÖÃŸÖ ×¾ÖªãŸÖ ÛúÞÖÖÓêÛúß ÃÖÓܵÖÖÃÖê †×¬ÖÛú ÆÖêŸÖÖ Æî | µÖפ Æ´Ö
ÃÖ´ÖÃŸÖ ×¾ÖÀ¾ÖÛúÖê ‹Ûú ¿ÖŸÖ¸Ó•ÖÛúÖ ±ú»ÖÛú ´ÖÖ®Ö »Öê †Öî¸ ×¾ÖªãŸÖÛúÞÖêÖÛúß ˆÃÖÛúß
ÝÖÖê×™µÖÖ, †Öî¸ ¤Öê ×¾ÖªãŸÖÛúÞÖÖêÛúß ×ÛúÃÖß ³Öß ¯Ö׸¾Öé×¢ÖÛúÖê ‡ÃÖ ×¾ÖÀ¾ÖÛê
ÜÖê»ÖÛúß ‹Ûú `“ÖÖ»Ö`´ÖÖ®Ö »Öê, ŸÖÖê ÃÖ´ÖÃŸÖ “ÖÖ»ÖÖê Ûúß ÃÖÓܵÖÖ---
34
10
10
10 ÆÖêÝÖß |
µÖÆ
ÃÖÓܵÖÖ ¹ýœ ÃÖÓܵÖÖ†Öê ( primes ) Ûê ×¾Ö³ÖÖÝÖ (
distribution ) ÃÖê ³Öß ÃÖÓ²ÖÓ¬Ö ¸ÜÖŸÖß Æî | 2 •Öß¾ÖÖ•Öß¾Ö×´ÖÃÃÖ¤¾¾ÖÃÃÖ
ÛúÖ¸ÞÖ×ÞÖ¸¾ÖêŒÜÖÖ ÃÖÞÞÖÖ †®ÖÓŸÖÖ | ¬Ö¾Ö»ÖÖ 3, ¯Öé 11 .
( 2)
ãÖÖ¯Ö®ÖÖ®Ö®ŸÖ1 - †Ö¸Öêׯ֟Ö
µÖÖ †Ö®ÖãÂÖÓ×ÝÖÛú, µÖÖ Ã£ÖÖ×¯ÖŸÖ †®Ö®ŸÖ | µÖÆ ³Öß µÖ£ÖÖ£ÖÔ †®Ö®ŸÖ ®ÖÆß Æî | •ÖÆÖ ×ÛúÃÖß ¾ÖßÖã´Öê
†®Ö®ŸÖÛúÖ †Ö¸Öê¯ÖÞÖ Ûú¸ ×»ÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî ¾ÖÆÖ ‡®Ö ¿Ö²¤ÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ ×ÛúµÖÖ
•ÖÖŸÖÖ Æî |
( 3) ¦¾µÖÖ®Ö®ŸÖ2 ___ ŸÖŸÛúÖ»Ö
ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ´Öê ®Ö †ÖŸÖê Æã‹ –ÖÖ®ÖÛúß †¯ÖêõÖÖ †®Ö®ŸÖ | ‡ÃÖ ÃÖÓ–ÖÖÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ˆ®Ö
¯Öã¹ýÂÖÖêÛê ×»ÖµÖê ×ÛúµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî ו֮Æê †®Ö®ŸÖ-×¾ÖÂÖµÖÛú ¿ÖÖáÖÛúÖ –ÖÖ®Ö Æî,
וÖÃÖÛúÖ ¾ÖŸÖÔ´ÖÖ®Ö´Öê ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ®ÖÆß Æî |
( 4 ) ÝÖÞÖ®ÖÖ®Ö®ÖŸÖ__ ÃÖÓܵÖÖŸ´ÖÛú
†®Ö®ŸÖ | µÖÆÃÖÓ–ÖÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáִÖê
¯ÖεÖæŒŸÖ ¾ÖÖßÖÖ×¾ÖÛú †®Ö®ŸÖÛê †£ÖÔ´Öê †Ö‡Ô Æî |
( 5 )
†¯ÖΤê׿ÖÛúÖ®ŸÖ ¯Ö׸ÞÖÖ´ÖÆß®Ö
†£ÖÖÔŸÖ †ŸµÖ®ŸÖ †»¯Ö ¯Ö¸´ÖÖÞÖã¹ý¯Ö |
( 6 )‹ÛúÖ®Ö®ŸÖ__ ‹Ûúפ¿ÖÖŸ´ÖÛú
†®Ö®ŸÖ | µÖÆ ¾ÖÆ †®Ö®ŸÖ Æî •ÖÖê ‹Ûú פ¿ÖÖ´Öê ÃÖ߬Öß ‹Ûú ¸êÜÖÖ¹ý¯ÖÃÖê ¤êÜÖ®Öê´Öê ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî |
( 7 ) ×¾ÖßÖÖ¸Ö®Ö®ŸÖ___ ׫׾ÖßÖÖ¸ÖŸ´ÖÛú
†£Ö¾ÖÖ ¯Ö隤ê¿ÖßµÖ †®Ö®ŸÖ | †ÃÖÖ †£ÖÎ Æî ¯ÖΟָ֟´ÖÛú †®Ö®ŸÖÖÛúÖ¿Ö |
( 8 ) ˆ³ÖµÖÖ®Ö®ŸÖ__ ׫פ¿ÖÖŸ´ÖÛú
†®Ö®ŸÖ | ‡ÃÖÛúÖ ˆ¤ÖƸÞÖ Æî ‹Ûú ÃÖ߬Öß ¸êÜÖÖ •ÖÖê ¤Öê®ÖÖê פ¿ÖÖ†Öê´Öê †®Ö®ŸÖ ŸÖÛú •ÖÖŸÖß Æî
( 9 ) ÃÖ¾ÖÖÔ®Ö®ŸÖ __ †ÖÛúÖ¿ÖÖŸ´ÖÛú
†®Ö®ŸÖ | ‡ÃÖÛúÖ †£ÖÔ Æî ס֬ÖÖ-×¾ÖßÖéŸÖ †®Ö®ŸÖ †£ÖÖÔŸÖ ‘Ö®ÖÖÛúÖ¸ †®Ö®ŸÖÖÛúÖ¿Ö |
(10) ³ÖÖ¾ÖÖ®Ö®ŸÖ__ ŸÖŸÛúÖ»Ö
ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ´Öê †ÖŸÖê Æã‹ –ÖÖ®ÖÛúß †¯ÖêõÖÖ †®Ö®ŸÖ | ‡ÃÖ ÃÖÓ–ÖÖÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ ˆÃÖ
¯Öã¹ýÂÖÛê ×»ÖµÖê ×ÛúµÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî וÖÃÖê †®Ö®ŸÖ-×¾ÖÂÖµÖÛú ¿ÖÖáÖÛúÖ –ÖÖ®Ö Æî
†Öî¸ ×•ÖÃÖÛúÖ ˆÃÖ †Öê¸ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ Æî |
(11)¿ÖÖÀ¾ÖŸÖÖ®®Ö__ ×®ÖŸµÖãÖÖµÖß
µÖÖ †×®Ö¾ÖÖ¿Öß †®Ö®ŸÖ |
¯Öæ¾ÖÖ쌟Ö
¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖ ÜÖæ²Ö ¾µÖÖ¯ÖÛú Æî וÖÃÖ´Öê ˆ®Ö ÃÖ²Ö †£ÖÖêÔÛúÖ ÃÖ´ÖÖ¾Öê¿Ö ÆÖê ÝÖµÖÖ
Æî ×•Ö®Ö †£ÖÖêÔ´Öê ×Ûú`†®Ö®ŸÖ` ÃÖÓ–ÖÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ •Öî®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖ´Öê Æã†Ö Æî |
1 •Ö ŸÖ ½¾ÖÞÖÖÞÖÓŸÖ ÞÖÖ´Ö ŸÖ Ûú½Ûú´´ÖêÃÖã
¾ÖÖ ×“Ö¢ÖÛú´´ÖêÃÖã ¾ÖÖ ¯ÖÖê¢ÖÛú´´ÖêÃÖã ¾ÖÖ---- †ŒÜÖÖê ¾ÖÖ ²Ö¸Ö›µÖÖê ¾ÖÖ •Öê “Ö
†ÞÞÖê ½¾ÖÞÖÖ‹ ½×¾Ö¤Ö †ÞÖÓŸÖ×´Öפ ŸÖ ÃÖ¾¾ÖÓ ½¾ÖÞÖÖÞÖŸÖ ÞÖÖ´Ö | ¬Ö.3, ¯Öé.11 ŸÖê 12 . 2. •ÖÓ ŸÖÓ ¤¾¾ÖÖÞÖÓŸÖÓ ŸÖ Ó¤ã×¾ÖÆÖ †ÖÝÖ´Ö¤Öê
ÞÖÖê†ÖÝÖ´Ö¤Öê µÖ | ¬Ö.3, ¯Öé 12.
ÝÖÞÖ®ÖÖ®Ö®ŸÖ ( Numerical infinite )
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ
µÖÆ Ã¯Ö™¹ý¯ÖÃÖê ÛúÆ ×¤µÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú ¯ÖÎÛéúŸÖ´Öê †®Ö®ŸÖ ÃÖÓ–ÖÖÛúÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ1 ÝÖÞÖ®ÖÖ®Ö®ŸÖÛê
†£ÖÔ´ÖêÓ Æß ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî, †®µÖ †®Ö®ŸÖÖêÓÛê †£ÖÔ´ÖêÓ ®ÖÆßÓ, ‘ŒµÖÖêÓ×Ûú
ˆ®Ö †®µÖ †®Ö®ŸÖÖêÓÛê «Ö¸Ö ¯ÖδÖÖÞÖÛúÖ ¯Öιý¯ÖÞÖ ®ÖÆßÓ ¯ÖÖµÖÖ •ÖÖŸÖÖ’2 Õ µÖÆ ³Öß ÛúÆÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú ‘ÝÖÞÖ®ÖÖ®Ö®ŸÖ
²ÖÆã¾ÖÞÖÔ®ÖßµÖ †Öî¸ ÃÖãÝÖ´Ö Æî’3 Õ ‡ÃÖ Ûú£Ö®ÖÛúÖ †£ÖÔ ÃÖÓ³Ö¾ÖŸÖ: µÖÆ Æî ×Ûú
•Öî®Ö-ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ †®Ö®ŸÖ †£ÖÖÔŸÖË ÝÖÞÖ®ÖÖ®Ö®ŸÖÛúß ¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ †×¬ÖÛú
×¾Ö¿Ö¤¹ý¯ÖÃÖê ׳֮®Ö ׳֮®Ö »ÖêÜÖÛúÖÓê «Ö¸Ö Ûú¸ ¤ß ÝÖ‡Ô £Öß, ŸÖ£ÖÖ ˆÃÖÛúÖ
¯ÖεÖÖêÝÖ †Öî¸ –ÖÖ®Ö ³Öß ÃÖã¯ÖΓÖ×»ÖŸÖ ÆÖê ÝÖµÖÖ £ÖÖ Õ ×Ûú®ŸÖã ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ
†®Ö®ŸÖÛúß ¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ ®ÖÆß ¤ß ÝÖ‡Ô Õ ŸÖÖê ³Öß †®Ö®ŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ‹Ó
ÃÖÓܵÖÖŸÖ †Öî¸ †ÃÖÓܵÖÖŸÖ ®ÖÖ´ÖÛú ¯ÖδÖÖÞÖÖÓêÛê ÃÖÖ£Ö ÃÖÖ£Ö ²ÖÆãŸÖ ¾ÖÖ¸
ˆ×»»Ö×ÜÖŸÖ Æã‡Ô Æî Õ
ÃÖÓܵÖÖŸÖ,
†ÃÖÓܵÖÖŸÖ †Öî¸ †®Ö®ŸÖ ¯ÖδÖÖÞÖÖêÓÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ •Öî®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖ´ÖêÓ
¯ÖÎÖ“Öß®ÖŸÖ´Ö –ÖÖŸÖÛúÖ»ÖÃÖê ×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî Õ ×Ûú®ŸÖã ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú
ˆ®ÖÛúÖ †×³Ö¯ÖÎÖµÖ ÃÖ¤î¾Ö ‹ÛúÃÖÖ ®ÖÆßÓ ¸ÆÖ Õ ¯ÖÎÖ“Öָ߮֟ ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖÓê †®Ö®ŸÖ
ÃÖ“Ö´Öæ“Ö †®Ö®ŸÖÛê ˆÃÖß †£ÖÔ´ÖÓê ¯ÖεÖãŒŸÖ Æã†Ö £ÖÖ ×•ÖÃÖ †£ÖÔ´ÖÓê Æ´Ö †²Ö
ˆÃÖÛúß ¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ Ûú¸ŸÖê ÆîÓ Õ ×Ûú®ŸÖã ¯Öß”êÛê ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖêÓ ˆÃÖÛúÖ Ã£ÖÖ®Ö †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ®Öê
»Öê ×»ÖµÖÖ Õ ˆ¤ÖƸÞÖÖ£ÖÔ-- ®Öê×´Ö“ÖÓ¦ «Ö¸Ö ¤¿Ö¾Öß ¿ÖŸÖÖײ¤´Öê ×»Ö×ÜÖŸÖ ÝÖή£Ö
סֻÖÖêÛúÃÖÖ¸Ûê †®ÖãÃÖÖ¸ ¯Ö¸ßŸÖÖ®Ö®ŸÖ, µÖ㌟ÖÖ®Ö®ŸÖ ‹¾ÖÓ •Ö‘Ö®µÖ †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ
‹Ûú ²Ö›ß ³ÖÖ¸ß ÃÖÓܵÖÖ Æî, ×Ûú®ŸÖã Æî ¾ÖÆ ÃÖÖ®ŸÖ Õ ˆÃÖ ÝÖή£ÖÛê †®ÖãÃÖÖ¸
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê ŸÖß®Ö ´ÖæÜµÖ ³Öê¤ ×ÛúµÖê •ÖÖ ÃÖÛúŸÖê ÆîÓ ---
( 1 ) ÃÖÓܵÖÖŸÖ--- וÖÃÖÛúÖ
ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ÃÖ ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
( 2) †ÃÖÓܵÖÖŸÖ--- וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö † ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
( 3) †®Ö®ŸÖ--- וÖÃÖÛúÖ
ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ®Ö ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ŸÖß®ÖÖêÓ ¯ÖÎÛúÖ¸Ûê
ÃÖÓܵÖÖ-¯ÖδÖÖÞÖÖêÛê ¯Öã®Ö: ŸÖß®Ö ŸÖß®Ö ¯ÖγÖê¤ ×ÛúµÖê ÝÖµÖê ÆîÓ •ÖÖê ×®Ö´®Ö
¯ÖÎÛúÖ¸ Æî ---
( 1 ) ÃÖÓܵÖÖŸÖ --- ( ÝÖÞÖ®ÖßµÖ ) ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê ŸÖß®Ö ³Öê¤ ÆîÓ---
(
† ) •Ö‘Ö®µÖ-ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( †»¯ÖŸÖ´Ö ÃÖÓܵÖÖ ) וÖÃÖÛúÖ
ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ÃÖ •Ö ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
( ²Ö ) ´Ö¬µÖ-ÃÖÓܵÖÖŸÖ
( ²Öß“ÖÛúß ÃÖÓܵÖÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ÃÖ ´Ö ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
--------------------------------
1 ¬Ö¾Ö»ÖÖ 3, ¯Öé. 16.
2 ‘ÞÖ
“Ö ÃÖêÃÖ†ÞÖÓŸÖÖ×ÞÖ ¯Ö´ÖÖÞÖ¯Ö¹ý¾ÖÞÖÖ×ÞÖ,
ŸÖŸ£Ö ŸÖ¬ÖÖ¤ÓÃÖÞÖÖ¤Öê’ Õ ¬Ö. 3, ¯Öé. 17.
3 ‘•ÖÓ
ŸÖÓ ÝÖÞÖÞÖÖÞÖÓŸÖÓ ŸÖÓ ²ÖÆã¾ÖÞÞÖÞÖßµÖÓ ÃÖãÝÖ´ÖÓ “Ö’ Õ ¬Ö. 3, ¯Öé. 16.
--------------------------------
(ÃÖ) ˆŸÛéú™ ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( ÃÖ²ÖÃÖê ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ÃÖ ˆ ´ÖÖ®Ö
»ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
(2) †ÃÖÓܵÖÖŸÖ (
†ÝÖÞÖ®ÖßµÖ ) Ûê ³Öß ŸÖß®Ö ³Öê¤ Æî ---
( †
) ¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( ¯ÖÎ£Ö´Ö ÁÖêÞÖßÛúÖ †ÃÖÓÜµÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö †
¯Ö ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
( ²Ö ) µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( ²Öß“ÖÛúÖ †ÃÖÓÜµÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö †
µÖã ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
( ÃÖ ) †ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ ( †ÃÖÓܵÖ-†ÃÖÓܵÖ
) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö † † ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
¯Öæ¾ÖÖêÔŒŸÖ
‡®Ö ŸÖß®ÖÖê ³Öê¤Öê´ÖêÃÖê ¯ÖΟµÖêÛúÛê ¯Öã®Ö: ŸÖß®Ö ŸÖß®Ö ¯ÖγÖê¤ ÆÖêŸÖê ÆîÓ Õ
•ÖîÃÖê, •Ö‘Ö®µÖ ( ÃÖ²ÖÃÖê ”Öê™Ö ), ´Ö¬µÖ´Ö ( ²Öß“ÖÛúÖ
) †Öî¸ ˆŸÛéú™ ( ÃÖ²ÖÃÖê ²Ö›Ö ) Õ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ †ÃÖÓܵÖÖŸÖÛê ³Öߟָ ×®Ö´®Ö
ÃÖÓܵÖÖ‹Ó ¯ÖÎ×¾Ö™ ÆÖê •ÖÖŸÖß ÆîÓ ---
1 •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † ¯Ö •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † ¯Ö ´Ö
3 ˆŸÛéú™-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † ¯Ö
ˆ
1 •Ö‘Ö®µÖ-µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † µÖã •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † µÖã ´Ö
3 ˆŸÛéú™-µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † µÖã ˆ
1 •Ö‘Ö®µÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † † •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ ------------ † † ´Ö
3 ˆŸÛéú™-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ ----------- † † ˆ
( 3 ) †®Ö®ŸÖ --- וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ®Ö
´ÖÖ®Ö “ÖãÛê ÆîÓ Õ ˆÃÖÛê ŸÖß®Ö ³Öê¤ ÆîÓ---
(
† ) ¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖ ( ¯ÖÎ£Ö´Ö ÁÖêÞÖßÛúÖ ÃÖ®Ö®ŸÖ )
וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ®Ö ¯Ö ´ÖÖ®Ö »Öê®Öê ÆîÓ Õ
( ²Ö ) µÖ㌟Ö-†®Ö®ŸÖ ( ²Öß“ÖÛúÖ †®Ö®ŸÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ
Æ´Ö ®Ö µÖã ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆÓî Õ
( ÃÖ ) †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ ( ×®Ö: ÃÖß´Ö
†®Ö®ŸÖ ) וÖÃÖÛúÖ ÃÖÓÛêŸÖ Æ´Ö ®Ö ®Ö ´ÖÖ®Ö »ÖêŸÖê ÆîÓ Õ
†ÃÖÓܵÖÖŸÖÛê
ÃÖ´ÖÖ®Ö ‡®Ö ŸÖß®ÖÖêÓ ³Öê¤ÖêÓÛê ³Öß ¯ÖΟµÖêÛú ¯Öã®Ö: ŸÖß®Ö ŸÖß®Ö ¯ÖγÖê¤ ÆÖêŸÖê
ÆîÓ Õ •Ö‘Ö®µÖ, ´Ö¬µÖ´Ö †Öî¸ ˆŸÛéú™ Õ †ŸÖ: †®Ö®ŸÖÛê ³Öê¤ÖÓêÛê Æ´Öê ×®Ö´®Ö
ÃÖÓܵÖÖ‹Ó ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖß ÆîÓ---
1 •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖÖ®Ö®ŸÖ ---------
®Ö ¯Ö •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-¯Ö¸ßŸÖÖ®Ö®ŸÖ
---------
®Ö ¯Ö ´Ö
3 ˆŸÛéú™-¯Ö¸ßŸÖÖ®Ö®ŸÖ
--------- ®Ö ¯Ö ˆ
1 •Ö‘Ö®µÖ-µÖ㌟ÖÖ®Ö®ŸÖ ---------
®Ö µÖã •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-µÖ㌟ÖÖ®Ö®ŸÖ --------- ®Ö µÖã ´Ö
3 ˆŸÛéú™-µÖ㌟ÖÖ®Ö®ŸÖ
--------- ®Ö µÖã ˆ
1 •Ö‘Ö®µÖ-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ --------- ®Ö
®Ö •Ö
2 ´Ö¬µÖ´Ö-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ --------- ®Ö ®Ö ´Ö
3 ˆŸÛéú™-†®ÖŸÖÖ®Ö®ŸÖ --------- ®Ö
®Ö ˆ
ÃÖÓܵÖÖŸÖÛúÖ ÃÖÓܵÖÖŸ´ÖÛú ¯Ö׸´ÖÖÞÖ--- ÃÖ³Öß
•Öî®Ö ÝÖή£ÖÖêÓÛê †®ÖãÃÖÖ¸ •Ö‘Ö®µÖ ÃÖÓܵÖÖŸÖ 2 Æî, ŒµÖÖÓê×Ûú, ˆ®Ö ÝÖή£ÖÖêÓÛê
´ÖŸÖÃÖê ׳֮®ÖŸÖÖÛúß ²ÖÖê¬ÖÛú µÖÆß
ÃÖ²ÖÃÖê ”Öê™ß ÃÖÓܵÖÖ Æî Õ ‹ÛúŸ¾ÖÛúÖê ÃÖÓܵÖÖŸÖ´ÖêÓ ÃÖ×´´Ö×»ÖŸÖ ®ÖÆßÓ ×ÛúµÖÖ Õ
´Ö¬µÖ´Ö ÃÖÓܵÖÖŸÖ´Öê 2 †Öî¸ ˆŸÛéú™ ÃÖÓܵÖÖŸÖÛê ²Öß“ÖÛúß ÃÖ´ÖÃŸÖ ÝÖÞÖ®ÖÖ †Ö
•ÖÖŸÖß Æî, ŸÖ£ÖÖ ˆŸÛéú™-ÃÖÓܵÖÖŸÖ •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖßÔ
†£ÖÖÔŸÖË ‹Ûú Ûú´Ö ÝÖÞÖ®ÖÖÛúÖ ®ÖÖ´Ö Æî Õ †£ÖÖÔŸÖË ÃÖ ˆ = † ¯Ö •Ö - 1 Õ † ¯Ö •Ö ÛúÖê סֻÖÖêÛúÃÖÖ¸´Öê ×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê
ÃÖ´Ö—ÖÖµÖÖ Æî1 ---
•Öî®Ö
³ÖæÝÖÖê»ÖÖ®ÖãÃÖÖ¸ µÖÆ ×¾Ö¿¾Ö, †£ÖÖÔŸÖË ´Ö¬µÖ»ÖÖêÛú, ³Öæ×´Ö †Öî¸ •Ö»ÖÛê Ûδ־ÖÖ¸
¾Ö»ÖµÖÖêÓÃÖê ²Ö®ÖÖ Æã†Ö Æî Õ ˆ®ÖÛúß ÃÖß´ÖÖ‹
ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ²ÖœŸÖß Æã‡Ô ס֕µÖÖ†ÖêÓ¾ÖÖ»Öê ÃÖ´ÖÛê®¦ßµÖ ¾Öé¢Ö¹ý¯Ö ÆîÓ Õ
×ÛúÃÖß ³Öß ³Öæ×´Ö µÖÖ •Ö»Ö´ÖµÖ ‹Ûú
¾Ö»ÖµÖÛúÖ ×¾ÖßÖÖ¸ ˆÃÖÃÖê ¯Öæ¾ÖÔ¾ÖŸÖßÔ ¾Ö»ÖµÖÛê ×¾ÖßÖÖ¸ÃÖê ¤ãÝÖã®ÖÖ Æî Õ
Ûꮦ¾ÖŸÖßÔ ¾Öé¢Ö ( ÃÖ²ÖÃÖê ¯ÖÎ£Ö´Ö ²Öß“ÖÛúÖ ¾Öé¢Ö ) ‹Ûú »ÖÖÜÖ ( 100,000 )
µÖÖê•Ö®Ö ¾µÖÖÃÖ¾ÖÖ»ÖÖ Æî, †Öî¸ •Ö´²Öæ«ß¯Ö ÛúÆ»ÖÖŸÖÖ Æî Õ
†²Ö
²Öê»Ö®ÖÛê †ÖÛúÖ¸Ûê “ÖÖ¸ ‹êÃÖê Ý֛˜ÖÓêÛúß Ûú»¯Ö®ÖÖ ÛúßוֵÖê •ÖÖê ¯ÖΟµÖêÛú ‹Ûú
»ÖÖÜÖ µÖÖê•Ö®Ö ¾µÖÖÃÖ¾ÖÖ»Öê †Öî¸ ‹Ûú
Æ•ÖÖ¸ µÖÖê•Ö®Ö ÝÖƸê ÆÖêÓ Õ ‡®ÆêÓ †1, ²Ö1, ÃÖ1 †Öî¸ ›1 Ûú×ƵÖê Õ †²Ö Ûú»¯Ö®ÖÖ
ÛúßוֵÖê ×Ûú †1 ÃÖ¸ÃÖÖêÓÛê ²Öß•ÖÖêÓÃÖê
¯Öæ¸Ö ³Ö¸ פµÖÖ ÝÖµÖÖ †Öî¸ ×±ú¸ ³Öß ˆÃÖ ¯Ö¸ †Öî¸ ÃÖ¸ÃÖÖêÓ ›Ö»Öê ÝÖµÖê •Ö²Ö ŸÖÛú ×Ûú ˆÃÖÛúß ×¿ÖÜÖÖ ¿ÖÓÛãúÛê
†ÖÛúÖ¸Ûúß ÆÖê •ÖÖµÖê, וÖÃÖ´ÖêÓ ÃÖ²ÖÃÖê ‰ú¯Ö¸ ‹Ûú ÃÖ¸ÃÖÖêÓÛúÖ ²Öß•Ö ¸Æê Õ ‡ÃÖ
¯ÖÎ×ÛεÖÖÛê ×»ÖµÖê ו֮֟Öê ÃÖ¸ÃÖÖêêÓÛê ²Öß•ÖÖêÓÛúß †Ö¾Ö¿µÖÛúŸÖÖ ÆÖêÝÖß ˆ®ÖÛúß
ÃÖÓܵÖÖ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ Æî---
²Öê»Ö®ÖÖÛúÖ¸
Ý֛˜êÛê ×»ÖµÖê __ 19791209299968.10
3 1 Õ ‰ú¯Ö¸ ¿ÖÓŒÛúÖÛúÖÛú¸ ׿ÖÜÖÖÛê ×»ÖµÖê -
1799200845451636363636363636363636363636363636 Õ ÃÖÓ¯ÖæÞÖÔ ÃÖ¸ÃÖÖêÛúÖ ¯ÖδÖÖÞÖ
- 1997112938451316363636363636363636363636363636.
--------------------------------
1 ¤êÜÖêÖ ×¡Ö»ÖÖêÛúÃÖÖ¸.
ÝÖÖ£ÖÖ 35.
--------------------------------
‡ÃÖ
¯Öæ¾ÖÖêÔŒŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖê Æ´Ö
²Öê»Ö®ÖÖÛúÖ¸ ÝÖ›œêÛúÖ ÃÖ¸ÃÖÖÓêÛê ²Öß•ÖÖêÓÃÖê ‘×¿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ¯Öæ¸ÞÖ’ ÛúÆêÓÝÖê
Õ †²Ö ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ¯Öæ׸ŸÖ Ý֛˜ê´ÖÓêÃÖê ˆ®Ö ²Öß•ÖÖêÓÛúÖê
×®ÖÛúÖ×»ÖµêÖ †Öî¸ •Ö´²Öæ«ß¯ÖÃÖê ¯ÖÎÖ¸Ó³Ö Ûú¸Ûê ¯ÖΟµÖêÛú «ß¯Ö †Öî¸ ÃÖ´Öã¦Ûê
¾Ö»ÖµÖÖÓê´Öê ‹Ûú ‹Ûú ²Öß•Ö ›Ö×»ÖµÖê Õ
“ÖÓæ×Ûú ²Öß•ÖÖêÓÛúß ÃÖÓܵÖÖ ÃÖ´Ö Æî, ‡ÃÖ×»ÖµÖê †×®ŸÖ´Ö ²Öß•Ö ÃÖ´Öã¦¾Ö»ÖµÖ ¯Ö¸
¯Ö›êÝÖÖ Õ †²Ö ‹Ûú ²Öß•Ö ²Ö1 ®ÖÖ´ÖÛú Ý֛˜ê´ÖêÓ ›Ö»Ö ¤ßוֵÖê, µÖÆ
²ÖŸÖ»ÖÖ®ÖêÛê×»ÖµÖê ×Ûú ˆŒŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ‹Ûú ²ÖÖ¸ ÆÖê ÝÖ‡Ô Õ
†²Ö
‹Ûú ‹êÃÖê ²Öê»Ö®ÖÛúß Ûú»¯Ö®ÖÖ ÛúßוֵÖê וÖÃÖÛúÖ ¾µÖÖÃÖ ˆÃÖ ÃÖ´Öã¦Ûúß
ÃÖß´ÖÖ¯ÖµÖÔ®ŸÖ ¾µÖÖÃÖÛê ²Ö¸Ö²Ö¸ ÆÖê וÖÃÖ´ÖêÓ ¾ÖÆ †×®ŸÖ´Ö ÃÖ¸ÃÖÖêÓÛúÖ ²Öß•Ö
›Ö»ÖÖ ÆÖê Õ ‡ÃÖ ²Öê»Ö®ÖÛúÖê †2 Ûú×ƵÖê Õ
†²Ö ‡ÃÖ †2 ÛúÖê ³Öß ¯Öæ¾ÖÖêÔŒŸÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ ÃÖ¸ÃÖÖÓêÃÖê ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ³Ö¸ ¤ê®ÖêÛúß
Ûú»¯Ö®ÖÖ ÛúßוֵÖê Õ ×±ú¸ ‡®Ö ²Öß•ÖÖêÓÛúÖê ³Öß ¯Öæ¾ÖÔ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ †×®ŸÖ´Ö ÃÖ´Ö㦾ֵֻÖÃÖê †ÖÝÖÓêÛê
«ß¯Ö-ÃÖ´Ö㦹ý¯Ö ¾Ö»ÖµÖÖêÓ´ÖêÓ ¯Öæ¾ÖÖêÔŒŸÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê ÛδֿÖ: ‹Ûú ‹Ûú ²Öß•Ö
›Ö×»ÖµÖê Õ ‡ÃÖ ×«ŸÖßµÖ ²ÖÖ¸ ×¾Ö¸»Ö®Ö´ÖêÓ ³Öß †×®ŸÖ´Ö ÃÖ¸ÃÖÖê ×ÛúÃÖß
ÃÖ´Öã¦¾Ö»ÖµÖ ¯Ö¸ Æß ¯Ö›êÝÖÖ Õ †²Ö ²Ö1 ´ÖêÓ ‹Ûú †Öî¸ ÃÖ¸ÃÖÖê ›Ö»Ö ¤Öê, µÖÆ
²ÖŸÖ»ÖÖ®ÖêÛê ×»ÖµÖê ×Ûú ˆŒŸÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ×«ŸÖßµÖ ¾ÖÖ¸ ÆÖê “ÖãÛúß Õ
†²Ö
×±ú¸ ‹Ûú ‹êÃÖê ²Öê»Ö®ÖÛúß Ûú»¯Ö®ÖÖ ÛúßוֵÖê וÖÃÖÛúÖ¾µÖÖÃÖ ˆÃÖß †×®ŸÖ´Ö
¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÃÖ´Ö㦾ֵֻÖÛê ¾µÖÖÃÖÛê ²Ö¸Ö²Ö¸ ÆÖê ŸÖ£ÖÖ •ÖÖê ‹Ûú Æ•ÖÖ¸ µÖÖê•Ö®Ö ÝÖƸÖ
ÆÖê Õ ‡ÃÖ ²Öê»Ö®ÖÛúÖê †3 Ûú×ƵÖê Õ †3 ÛúÖê ³Öß ÃÖ¸ÃÖÖêÓÃÖê ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ³Ö¸
¤ê®ÖÖ “ÖÖ×ƵÖê †Öî¸ ×±ú¸ ˆ®Ö ²Öß•ÖÖêÛúÖê †ÖÝÖêÛê «ß¯ÖÃÖ´Öã¦ÖêÓ´ÖÓê ¯Öæ¾ÖÖêÔŒŸÖ
¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê ‹Ûú ‹Ûú ›Ö»Ö®ÖÖ “ÖÖ×ƵÖê Õ
†®ŸÖ´ÖêÓ ‹Ûú †Öê¸ ÃÖ¸ÃÖÖêÓ ²Ö1 ´ÖêÓ ›Ö»Ö ¤ê®ÖÖ “ÖÖ×ƵÖê Õ
Ûú»¯Ö®ÖÖ ÛúßוֵÖê ×Ûú µÖÆß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ŸÖ²Ö ŸÖÛú “ÖÖ»Öæ ¸ÜÖß
ÝÖ‡Ô •Ö²Ö ŸÖÛú ×Ûú ²Ö1 ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ®Ö ³Ö¸ •ÖÖµÖê Õ ‡ÃÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖ´ÖêÓ Æ´ÖêÓ
ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸ ²ÖœŸÖê Æã‹
†ÖÛúÖ¸Ûê ²Öê»Ö®Ö »Öê®Öê ¯Ö›êÓÝÖê __
†1, †2,................ †¸,...................
´ÖÖ®Ö ×»ÖוֵÖê ×Ûú ²Ö1 ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ³Ö¸®Öê ¯Ö¸ †×®ŸÖ´Ö ²Öê»Ö®Ö †’ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ
Æã†Ö Õ
†²Ö
†’ ÛúÖê
¯ÖÎ£Ö´Ö ×¿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ³Ö¸Ö ÝÖ›ËœÖ ´ÖÖ®Ö Ûú¸ ˆÃÖ •Ö»Ö¾Ö»ÖµÖÛê ²ÖÖ¤ÃÖê וÖÃÖ´ÖêÓ
ׯ֔»Öß ×ÛεÖÖÛê †®ÖãÃÖÖ¸ †×®ŸÖ´Ö ²Öß•Ö ›Ö»ÖÖ ÝÖµÖÖ £ÖÖ, ¯ÖÎÖ¸´³Ö Ûú¸Ûê
¯ÖΟµÖêÛú •Ö»Ö †Öî¸ Ã£Ö»ÖÛê ¾Ö»ÖµÖ´ÖêÓ
‹Ûú ‹Ûú ²Öß•Ö ”Öê›®Öê Ûúß ×ÛεÖÖÛúÖê †ÖÝÖê ²ÖœÖ‡µÖê Õ ŸÖ²Ö ÃÖ 1´Öê ‹Ûú ²Öß•Ö ”Öê×›µÖê Õ ‡ÃÖ
¯ÖÎ×ÛεÖÖÛúÖê ŸÖ²Ö ŸÖÛú “ÖÖ»Öæ ¸×ÜÖµÖê •Ö²Ö ŸÖÛú ×Ûú ÃÖ1 ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ®Ö ³Ö¸
•ÖÖµÖ Õ ´ÖÖ®Ö »ÖßוֵÖê ×Ûú ‡ÃÖ ¯ÖÎ×ÛεÖÖÃÖê Æ´ÖêÓ †×®ŸÖ´Ö ²Öê»Ö®Ö †” ¯ÖÎÖ¯ŸÖ
Æã†Ö Õ ŸÖ²Ö ×±ú¸ ‡ÃÖ †” ÃÖê ¾ÖÆß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ ¯ÖÎÖ¸´³Ö Ûú¸ ¤ßוֵÖê †Öî¸ ˆÃÖê
›1 Ûê ׿ÖÜÖÖµÖãŒŸÖ ³Ö¸ •ÖÖ®Öê ŸÖÛú “ÖÖ»Öæ ¸×ÜÖµÖê Õ ´ÖÖ®Ö ×»ÖוֵÖê ×Ûú ‡ÃÖ
¯ÖÎ×ÛεÖÖÛê †®ŸÖ´ÖêÓ Æ´ÖêÓ †”’ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ Æã†Ö Õ †ŸÖ‹¾Ö •Ö‘Ö®µÖ¯Ö¸ßŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ † ¯Ö
•Ö ÛúÖ ¯ÖδÖÖÞÖ †”’ ´ÖêÓ ÃÖ´ÖÖ®Öê¾ÖÖ»Öê
ÃÖ¸ÃÖÖêÓ ²Öß•ÖÖêÓÛúß ÃÖÓܵÖÖÛê ²Ö¸Ö²Ö¸ ÆÖêÝÖÖ †Öî¸ ˆŸÛéú™ ÃÖÓܵÖÖŸÖ = ÃÖ ˆ = †
¯Ö •Ö - 1
¯ÖµÖÖÔ»ÖÖê“Ö®Ö --- ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖê ŸÖß®Ö
³Öê¤ÖêÓ´ÖêÓ ×¾Ö³ÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛúÖ ´ÖãÜµÖ †×³Ö¯ÖÎÖµÖ µÖÆ ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî -
ÃÖÓܵÖÖŸÖ †£ÖÖÔŸÖË ÝÖÞÖ®ÖÖ ÛúÆÖÑ ŸÖÛú Ûúß •ÖÖ ÃÖÛúŸÖß Æî µÖÆ ³ÖÖÂÖÖ´ÖêÓ
ÃÖÓܵÖÖ-®ÖÖ´ÖÖêÓÛúß ˆ¯Ö»Öײ¬Ö †£Ö¾ÖÖ ÃÖÓܵÖÖ¾µÖ׌ŸÖÛê †®µÖ ˆ¯ÖÖµÖÖêÓÛúß
¯ÖÎÖׯŸÖ ¯Ö¸ †¾Ö»Ö×´²ÖŸÖ Æî Õ †ŸÖ‹¾Ö ³ÖÖÂÖÖ´ÖêÓ ÝÖÞÖ®ÖÖÛúÖ õÖê¡Ö ²ÖœÖ®ÖêÛê
×»ÖµÖê ³ÖÖ¸ŸÖ¾ÖÂÖÔ´ÖêÓ ¯ÖάÖÖ®ÖŸÖ: ¤¿Ö-´ÖÖ®ÖÛê †Ö¬ÖÖ¸¯Ö¸ ÃÖÓܵÖÖ-®ÖÖ´ÖÖÓêÛúß
‹Ûú »Ö´²Öß ÁÖêÞÖß ²Ö®ÖÖ‡Ô ÝÖ‡Ô Õ ×Æ®¤æ 1017 ŸÖÛúÛúß ÝÖÞÖ®ÖÖÛúÖê ³ÖÖÂÖÖ´ÖêÓ
¾µÖŒŸÖ Ûú¸ ÃÖÛú®Öê¾ÖÖ»Öê †šÖ¸Æ
®ÖÖ´ÖÖêÓÃÖê ÃÖÓŸÖã™ ÆÖê ÝÖµÖê Õ 1017 ÃÖê ‰ú¯Ö¸Ûúß ÃÖÓܵÖÖ‹Ó ˆ®ÆßÓ ®ÖÖ´ÖÖêÓÛúß ¯Öã®Ö¸Ö¾Öé×¢Ö «Ö¸Ö
¾µÖŒŸÖ Ûúß •ÖÖ ÃÖÛúŸÖß £Öß, •ÖîÃÖê ×Ûú †²Ö Æ´Ö ¤¿Ö-»ÖÖÜÖ ( million millon ) †×¤
ÛúÆ Ûú¸ Ûú¸ŸÖê ÆîÓ ×Ûú®ŸÖã ‡ÃÖ ²ÖÖŸÖÛúÖ †®Öã³Ö¾Ö ÆÖê ÝÖµÖÖ ×Ûú µÖÆ
¯Öã®Ö¸Ö¾Öé×¢Ö ³ÖÖ¸³ÖæŸÖ ( cumbersome ) Æî Õ ²ÖÖî¨ÖêÓ †Öî¸ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛúÖê
†¯Ö®Öê ¤¿ÖÔ®Ö †Öî¸ ×¾Ö¿¾Ö¸“Ö®ÖÖ ÃÖÓ²ÖÓ¬Öß
×¾Ö“ÖÖ¸ÖêÓÛê ×»ÖµÖê 1017 ÃÖê ²ÖÆãŸÖ ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúß †Ö¾Ö¿µÖÛúŸÖÖ
¯Ö›ß Õ †ŸÖ‹¾Ö ˆ®ÆÖêÓ®Öê †Öî¸ ²Ö›ß ²Ö›ß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê ®ÖÖ´Ö Ûú×»¯ÖŸÖ Ûú¸ ×»ÖµÖê
Õ •Öî×®ÖµÖÖÓêÛê ÃÖÓܵÖÖ®ÖÖ´ÖÖêÓÛúÖ ŸÖÖê †²Ö Æ´ÖêÓ ¯ÖŸÖÖ ®ÖÆßÓ ÆîÓ1 ×Ûú®ŸÖã ²ÖÖî¨ÖêÓ«Ö¸Ö
Ûú×»¯ÖŸÖ ÃÖÓܵÖÖ-
--------------------------------
1
•Öî×®ÖµÖÖêÓÛê ¯ÖÎÖ“Öß®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖ´Öê ¤ß‘ÖÔ ÛúÖ»Ö ¯ÖδÖÖÞÖÖêÓÛê ÃÖæ“ÖÛú
®ÖÖ´ÖÖêÓÛúß ŸÖÖ×»ÖÛúÖ ¯ÖÖ‡Ô •ÖÖŸÖß Æî •ÖÖê ‹Ûú ¾ÖÂÖÔ ¯ÖδÖÖÞÖÃÖê ¯ÖÎÖ¸´³Ö
ÆÖêŸÖß Æî Õ µÖÆ ®ÖÖ´ÖÖ¾Ö»Öß ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ Æî ---
1
¾ÖÂÖÔ 17 †™™ÖÓÝÖ = 84 ¡Öã×™ŸÖ
2
µÖãÝÖ = 5 ¾ÖÂÖÔ 18
†™™ = ,, »ÖÖÜÖ †™™ÖÓÝÖ
3
¯Öæ¾ÖÖÕÝÖ = 84 »ÖÖÜÖ ¾ÖÂÖÔ 19 †´Ö´ÖÖÓÝÖ = ,, †™™
4
¯Öæ¾ÖÔ = ,, »ÖÖÜÖ ¯Öæ¾ÖÖÕÝÖ 20 †´Ö´Ö =
,, »ÖÖÜÖ †´Ö´ÖÖÓÝÖ
5
®ÖµÖãŸÖÖÓÝÖ = ,,
¯Öæ¾ÖÔ 21 ÆÖÆÖÓÝÖ = ,, †´Ö´Ö
6
®ÖµÖãŸÖ = ,, »ÖÖÜÖ
®ÖµÖãŸÖÖÓÝÖ 22
ÆÖÆÖ = ,,
»ÖÖÜÖ ÆÖÆÖÓÝÖ
7
Ûãú´Öã¤ÖÓÝÖ = ,, ®ÖµÖãŸÖ
23
ÆæÆÖÓÝÖ = ,,
ÆÖÆÖ
8
Ûãú´Ö㤠= ,, »ÖÖÜÖ Ûãú´Öã¤ÖÓÝÖ 24 ÆæÆæ = ,, »ÖÖÜÖ ÆæÆÖÓÝÖ
9
¯Ö©ÖÓÝÖ = ,,
Ûãú´Ö㤠25 »ÖŸÖÖÓÝÖ = ,, ÆæÆæ
10
¯Ö© = ,, »ÖÖÜÖ ¯Ö©ÖÓÝÖ
26
»ÖŸÖÖ = ,,
»ÖÖÜÖ »ÖŸÖÖÓÝÖ
11
®Ö×»Ö®ÖÖÓÝÖ = ,,
¯Ö© 27 ´ÖÆÖ»ÖŸÖÖÓÝÖ = ,, »ÖŸÖÖ
12
®Ö×»Ö®Ö = ,,
»ÖÖÜÖ ®Ö×»Ö®ÖÖÓÝÖ 28 ´ÖÆÖ»ÖŸÖÖ = ,, »ÖÖÜÖ
´ÖÆÖ»ÖŸÖÖÓÝÖ
13
Ûú´Ö»ÖÖÓÝÖ = ,,
®Ö×»Ö®Ö 29 ÁÖßÛú»¯Ö = ,, »ÖÖÜÖ ´ÖÆÖ»ÖŸÖÖ
14
Ûú´Ö»Ö = ,,
»ÖÖÜÖ Ûú´Ö»ÖÖÓÝÖ 30 Æß֯ÖÎÆê×»ÖŸÖ = ,, »ÖÖÜÖ ÁÖßÛú»¯Ö
15
¡Öã×™ŸÖÖÓÝÖ = ,,
Ûú´Ö»Ö 31 †“Ö»Ö¯ÖÎ = ,, »ÖÖÜÖ Æß֯ÖÎÆê×»ÖŸÖ
16
¡Öã×™ŸÖ = ,,
»ÖÖÜÖ ¡Öã×™ŸÖÖÓÝÖ
µÖÆ
®ÖÖ´ÖÖ¾Ö»Öß ×¡Ö»ÖÖÛú¯ÖΖÖׯŸÖ ( 4--6 ¾ÖßÓ ¿ÖŸÖÖײ¤ ) Æ׸¾ÖÓ¿Ö¯Öã¸ÖÞÖ ( 8 ¾Öß
¿ÖŸÖÖײ¤ ) †Öî¸ ¸Ö•Ö¾ÖÖןÖÔÛú ( 8 ¾Öß
¿ÖŸÖÖײ¤ ) ´ÖêÓ Ûãú” ®ÖÖ´Ö³Öê¤ÖêÓÛê ÃÖÖ£Ö ¯ÖÖ‡Ô •ÖÖŸÖß Æî Õ
סֻÖÖêÛú¯ÖΖÖׯŸÖÛê ‹Ûú ˆ»»ÖêÜÖÖ®ÖãÃÖÖ¸ †“Ö»Ö¯ÖÎÛúÖ ¯ÖδÖÖÞÖ 84 ÛúÖê 31 ¾ÖÖ¸
¯Ö¸Ã¯Ö¸ ÝÖãÞÖÖ Ûú¸®ÖêÃÖê ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî- †“Ö»Ö¯ÖÎ- 8431 ŸÖ£ÖÖ ÃÖÓܵÖÖ 90
†ÓÛú ¯ÖδÖÖÞÖ ÆÖêÝÖß Õ ×Ûú®ŸÖã
»Ö‘Öã׸Œ£Ö ŸÖÖ×»ÖÛúÖ ( Logarithmic tables )
Ûê †®ÖãÃÖÖ¸ 8431 ÃÖÓܵÖÖ 60 †ÓÛú
¯ÖδÖÖÞÖ Æß ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖß Æî Õ ¤ê×ÜÖµÖê ¬Ö¾Ö»ÖÖ, ³ÖÖÝÖ 3, ¯ÖÎßÖÖ¾Ö®ÖÖ ¾Ö ±ãú™
®ÖÖê™, ¯Öé. 34 --- ÃÖ´¯ÖÖ¤Ûú.
®ÖÖ´ÖÖêÛúß ×®Ö´®Ö ÁÖê×ÞÖÛúÖ ×“Ö¢ÖÖÛúÂÖÔÛú Æî
---
1 ‹Ûú =
1 15 †²²Ö㤠= ( 10,000,000)8
2 ¤ÃÖ =
10 16 ×®Ö¸²²Ö㤠= (
10,000,000)9
3 ÃÖŸÖ =
100 17 †ÆÆ = ( 10,000,000)10
4 ÃÖÆÃÃÖ =
1,000 18 †²Ö²Ö = ( 10,000,000)11
5 ¤ÃÖÃÖÆÃÃÖ =
10,000 19
†™™ = ( 10,000,000)12
6 ÃÖŸÖÃÖÆÃÃÖ
= 100,000 20 ÃÖÖêÝÖ×®¬ÖÛú = (
10,000,000)13
7 ¤ÃÖÃÖŸÖÃÖÆÃÃÖ= 1,000,000 21
ˆ¯¯Ö»Ö = ( 10,000,000)14
8 ÛúÖê×™ =
10,000,000 22 Ûãú´Ö㤠= ( 10,000,000)15
9 ¯ÖÛúÖê™ß =
(10,000,000)2 23 ¯ÖãÓ›¸ßÛú = ( 10,000,000)16
10 ÛúÖê×™¯¯ÖÛúÖê×™ =(10,000,000)3 24
¯Ö¤ã´Ö = (
10,000,000)17
11 ®ÖÆãŸÖ =
(10,000,000)4 25 Ûú£ÖÖ®Ö = ( 10,000,000)18
12 ×®Ö®®ÖÆãŸÖ =
(10,000,000)5 26 ´ÖÆÖÛú£ÖÖ®Ö = ( 10,000,000)19
13 †ÜÖÖê׳֮Öß = (10,000,000)6 27 †ÃÖÓܵÖêµÖ = ( 10,000,000)20
14 ײ֮¤ã =
(10,000,000)7
µÖÆÖÑÑ
¤êÜÖÖ •ÖÖŸÖÖ Æî ×Ûú ÁÖê×ÞÖÛúÖ´ÖêÓ †×®ŸÖ´Ö ®ÖÖ´Ö †ÃÖÓܵÖêµÖ Æî Õ ‡ÃÖÛúÖ †×³Ö¯ÖÎÖµÖ µÖÆß ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú
†ÃÖÓܵÖêµÖÛê ‰ú¯Ö¸Ûúß ÃÖÓܵÖÖ‹Ó ÝÖÞÖ®ÖÖŸÖßŸÖ Æî Õ
†ÃÖÓܵÖêµÖÛúÖ
¯Ö׸ÞÖÖ´Ö ÃÖ´ÖµÖ ÃÖ´ÖµÖ ¯Ö¸ †¾Ö¿µÖ ²Ö¤»ÖŸÖÖ ¸ÆÖ ÆÖêÝÖÖ Õ ®Öê×´Ö“ÖÓ¦ÛúÖ
†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ †ÃÖÓܵÖêµÖÃÖê, ו֟ÖÛúÖ ¯ÖδÖÖÞÖ 10140 ÆÖêŸÖÖ Æî,
×®Ö¿“ÖµÖŸÖ: ׳֮®Ö Æî Õ
†ÃÖÓܵÖÖŸÖ --- ‰ú¯Ö¸ ÛúÆÖ •ÖÖ “ÖãÛúÖ Æî
×Ûú †ÃÖÓܵÖÖŸÖÛê ŸÖß®Ö ´ÖãÜµÖ ³Öê¤ ÆîÓ †Öî¸ ˆ®Ö´ÖêÓÃÖê ³Öß ¯ÖΟµÖêÛúÛê ŸÖß®Ö
³Öê¤ ÆîÓ; ‰ú¯Ö¸ ×®ÖפÔ™ ÃÖÓÛêŸÖÖêÓÛê ¯ÖεÖÖêÝÖ Ûú¸®ÖêÃÖê Æ´ÖêÓ ®Öê×´Ö“ÖÓ¦Ûê
†®ÖãÃÖÖ¸ ×®Ö´®Ö ¯ÖδÖÖÞÖ ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖê ÆîÓ ---
•Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( †
¯Ö •Ö ) = ÃÖ ˆ + 1
´Ö¬µÖ´Ö-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † ¯Ö ´Ö ) Æî > † ¯Ö •Ö, ×Ûú®ŸÖã < † ¯Ö ˆ.
ˆŸÛéú™-¯Ö¸ßŸÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † ¯Ö ˆ ) = † µÖã •Ö - 1
•ÖÆÖÑ ---
•Ö‘Ö®µÖ-µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † µÖã •Ö ) = ( † ¯Ö •Ö ) † ¯Ö •Ö
´Ö¬µÖ´Ö-
µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ ( † µÖã ´Ö ) Æî > † µÖã •Ö,
×Ûú®ŸÖã < † µÖã ˆ.
ˆŸÛéú™-µÖ㌟Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † µÖã •Ö = †
† •Ö - 1 )
•ÖÆÖÑ ---
•Ö‘Ö®µÖ-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † † •Ö ) = ( † µÖã •Ö )2
´Ö¬µÖ´Ö-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † † ´Ö ) Æî > † † •Ö, ×Ûú®ŸÖã < † † ˆ
ˆŸÛéú™-†ÃÖÓܵÖÖŸÖÖÃÖÓܵÖÖŸÖ
( † † ˆ ) = ®Ö
¯Ö •Ö - 1 )
•ÖÆÖÑ ---
®Ö
¯Ö •Ö •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖÛúÖ
²ÖÖê¬ÖÛú Æî Õ
†®Ö®ŸÖ --- †®Ö®ŸÖ ÁÖêÞÖßÛúß ÃÖÓܵÖÖ‹
×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ Æî ---
(††•Ö)
(††•Ö) (††•Ö)
(††•Ö) (††•Ö)
(††•Ö) (††•Ö)
Ûú = (††•Ö)
´ÖÖ®Ö»ÖÖê ÜÖ = Ûú + ”Æ
¦¾µÖ1
Ô(ÜÖÜÖ)ÜÖÜÖ
Î
´ÖÖ®Ö»ÖÖê ÝÖ = Ô (ÜÖÜÖ)ÜÖÜÖ
Î
+ 4 ¸Ö׿ֵÖÖ2
ŸÖ²Ö ---
Ô(ÝÖÝÖ)ÝÖÝÖ
Î
•Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖ
( ®Ö ¯Ö •Ö ) = Ô (ÝÖÝÖ)ÝÖÝÖÎ
´Ö¬µÖ´Ö-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖ
( ®Ö ¯Ö ´Ö ) Æî > ®Ö ¯Ö •Ö, ×ÛÓŸÖã < ®Ö ¯Ö ˆ
ˆŸÛéú™-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®®Ö
( ®Ö ¯Ö ˆ = ®Ö µÖã •Ö - 1,
--------------------------------
1
”Æ ¦¾µÖ µÖê ÆîÓ - (1) ¬Ö´ÖÔ, (2) †¬Ö´ÖÔ, (3) ‹Ûú
•Öß¾Ö, (4) »ÖÖêÛúÖÛúÖ¿Ö, (5) †¯ÖÎןÖךŸÖ (¾Ö®ÖïÖ×ŸÖ •Öß¾Ö), †Öî¸ (6)
¯ÖÎןÖךŸÖ (¾Ö®ÖïÖ×ŸÖ •Öß¾Ö).
2. “ÖÖ¸ ÃÖ´Öã¤ÖµÖ µÖê ÆîÓ
- (1) ‹Ûú Ûú»¯ÖÛúÖ»ÖÛê ÃÖ´ÖµÖ, (2) »ÖÖêÛúÛúÖ¿ÖÛê ¯ÖΤê¿Ö, (3)
†®Öã³ÖÖÝÖ²ÖÓ¬Ö†¬µÖ¾ÖÃÖÖµÖãÖÖ®Ö, †Öî¸ (4) µÖÖêÝÖÛê †×¾Ö³ÖÖÝÖ-¯ÖÎן֓”ê¤.
--------------------------------
•ÖÆÖÑ ---
( † ¯Ö •Ö)
•Ö‘Ö®µÖ
µÖ㌟Ö-†®Ö®•Ö ( ®Ö µÖã •Ö ) = ( † ¯Ö •Ö )
´Ö¬µÖ´Ö-µÖ㌟Ö-†®Ö®ŸÖ
( ®Ö µÖã ´Ö ) Æî > ®Ö µÖã •Ö, ×ÛÓŸÖã < ®Ö µÖã ˆ
ˆŸÛéú™-µÖ㌟Ö-†®Ö®ŸÖ
( ®Ö µÖã ˆ )= ®Ö ®Ö •Ö - 1
•ÖÆÖÑ ---
•Ö‘Ö®µÖ-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ
( ®Ö ®Ö •Ö ) = ( ®Ö µÖã •Ö )2
´Ö¬µÖ´Ö-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ
( ®Ö ®Ö ´Ö ) > Æî
®Ö ®Ö •Ö, ×ÛÓŸÖã < ®Ö ®Ö ˆ
•ÖÆÖÑ ---
®Ö
®Ö ˆ ˆŸÛéú™ †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖÛê ×»ÖµÖê ¯ÖεÖãŒŸÖ Æî, •ÖÖê ×Ûú ®Öê×´Ö“ÖÓ®¦Ûê
†®ÖãÃÖÖ¸ ×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê
¯ÖÎÖ¯ŸÖ ÆÖêŸÖÖ Æî ---
õÖ = [ Ô ®Ö®Ö•ÖÎ Ô ®Ö®Ö•ÖÎ] [Ô ®Ö®Ö•ÖÎ Ô ®Ö®Ö•Ö Î]
( ®Ö®Ö•Ö) ( ®Ö®Ö•Ö) ( ®Ö®Ö•Ö) ( ®Ö®Ö•Ö) + ”Æ ¸Ö׿ֵÖÖ 1
¡Ö = Ô
õÖõÖ Î Ô
õÖõÖ Î
( õÖõÖ ) ( õÖõÖ
) + ¤Öê ¸Ö׿ֵÖÖÓ2
–Ö = Ô
¾Ö¡Ö Î Ô ¡Ö¡Ö Î
( ¡Ö¡Ö) ( ¡Ö¡Ö)
†²Ö,
Ûê¾Ö»Ö–ÖÖ®Ö ¸Ö×¿Ö –Ö ÃÖê ³Öß ²Ö›ß Æî †Öî¸ ---
®Ö
®Ö ˆ =
Ûê¾Ö»Ö–ÖÖ®Ö - –Ö + = Ûê¾Ö»Ö–ÖÖ®Ö,
¯ÖµÖÖÔ»ÖÖê“Ö®Ö --- ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ×¾Ö¾Ö¸ÞÖÛúÖ µÖÆ ×¾ÖÂÛúÂÖÔ ×®ÖÛú»ÖŸÖÖ Æî ---
(1) •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖ (®Ö ¯Ö •Ö) †®Ö®ŸÖ ®ÖÆßÓ ÆÖêŸÖÖ •Ö²Ö
ŸÖÛú ˆÃÖ´ÖêÓ ¯ÖÎ×õÖ¯ŸÖ ×ÛúµÖê ÝÖµÖê ”Æ ¦¾µÖÖêÓ µÖÖ
“ÖÖ¸ ¸Ö׿ֵÖÖêÓ´ÖêÓÃÖê ‹Ûú †×¬ÖÛú †®Ö®ŸÖ ®Ö ´ÖÖ®Ö ×»ÖµÖê •ÖÖµÖê Õ
--------------------------------
1.
”Æ ¸Ö׿ֵÖÖ µÖê ÆÓî - (1) ×ÃÖ¨, (2) ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖ
¾Ö®ÖïÖ×ŸÖ ×®ÖÝÖÖê¤, (3) ¾Ö®ÖïÖןÖ, (4) ¯Ö㮤ËÝÖ»Ö (5) ¾µÖ¾ÖÆÖ¸ÛúÖ»Ö †Öî¸ (6)
†»ÖÖêÛúÖÛúÖ¿Ö.
2. µÖê ¤Öê ¸Ö׿ֵÖÖ ÆîÓ -
(1) ¬Ö´ÖÔ¦¾µÖ, (2) †¬Ö´ÖÔ¦¾µÖ, ( ‡®Ö ¤Öê®ÖÖêÓÛê
†ÝÖã¹ý»Ö‘Öã ÝÖãÞÖÛê †×¾Ö³ÖÖÝÖ-¯ÖÎן֓”ê¤ )
--------------------------------
(2)
ˆŸÛéú™-†®Ö®ŸÖ-†®Ö®ŸÖ (®Ö ®Ö ®Öˆ) Ûê¾Ö»Ö–ÖÖ®Ö¸Ö׿ÖÛê ÃÖ´Ö¯ÖδÖÖÞÖ Æî Õ
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ×¾Ö¾Ö¸ÞÖÃÖê µÖÆ †×³Ö¯ÖÎÖµÖ ×®ÖÛú»ÖŸÖÖ ÆîÓ ×Ûú ˆŸÛéú™ †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ
†ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖÛúß ×ÛúÃÖß ¯ÖÎ×ÛεÖÖ«Ö¸Ö ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ®ÖÆßÓ ×ÛúµÖÖ •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ, “ÖÖÆê ¾ÖÆ
¯ÖÎ×ÛεÖÖ ×ÛúŸÖ®Öß Æß ¤æ¸ ŒµÖÖêÓ ®Ö »Öê •ÖÖµÖß •ÖÖµÖê Õ µÖ£ÖÖ£ÖÔŸÖ: ¾ÖÆ †ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ«Ö¸Ö ¯ÖÎÖ¯ŸÖ –Ö
Ûúß ×ÛúÃÖß ³Öß ÃÖÓܵÖÖÃÖê †×¬ÖÛú Æß ¸ÆêÝÖÖ Õ †ŸÖ: ´Öã—Öê ‹êÃÖÖ ¯ÖΟÖßŸÖ ÆÖêŸÖÖ
Æî ×Ûú Ûê¾Ö»Ö–ÖÖ®Ö †®Ö®ŸÖ Æî †Öî¸ ‡ÃÖß×»ÖµÖê ˆŸÛéú™ -†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ ³Öß †®Ö®ŸÖ
Æî Õ
‡ÃÖ
¯ÖÎÛúÖ¸ סֻÖÖêÛúÃÖÖ¸Ö®ŸÖÝÖÔŸÖ ×¾Ö¾Ö¸ÞÖ Æ´ÖêÓ Ûãú” ÃÖÓ¿ÖµÖ´ÖêÓ Æß ”Öê› ¤êŸÖÖ Æî
×Ûú ¯Ö¸ßŸÖÖ®Ö®ŸÖ †Öî¸ µÖ㌟ÖÖ®Ö®ŸÖÛê ŸÖß®Ö ŸÖß®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ ŸÖ£ÖÖ •Ö‘Ö®µÖ
†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ ÃÖ“Ö´Öã“Ö †®Ö®ŸÖ Æî µÖÖ ®ÖÆß, ŒµÖÖêÓ×Ûú µÖê ÃÖ²Ö †ÃÖÓܵÖÖŸÖÛê Æß
ÝÖãÞÖ®Ö±ú»Ö ÛúÆê ÝÖµÖê ÆîÓ, †Öî¸ •ÖÖê ¸Ö׿ֵÖÖÓ ˆ®Ö´ÖêÓ •ÖÖê›ß ÝÖ‡Ô ÆîÓ ¾Öê ³Öß
†ÃÖÓܵÖÖŸÖ´ÖÖ¡Ö Æß ÆîÓ Õ ×Ûú®ŸÖã ¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ †®Ö®ŸÖ ÃÖ“Ö´Öã“Ö †®Ö®ŸÖ Æß Æî,
ŒµÖÖêÓ×Ûú µÖÆÖÑ µÖÆ Ã¯Ö™ŸÖ: ÛúÆ ×¤µÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú ‘¾µÖµÖ
ÆÖê®ÖêÃÖê •ÖÖê ¸Ö×¿Ö ®Ö™ ÆÖê ¾ÖÆ †®Ö®ŸÖ ®ÖÆßÓ ÛúÆß •ÖÖ ÃÖÛúŸÖß’1 Õ
¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ µÖÆ ³Öß ÛúÆ ×¤µÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú †®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖÃÖê ÃÖ¾ÖÔ¡Ö ŸÖÖŸ¯ÖµÖÔ
´Ö¬µÖ´Ö-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖÃÖê Æî Õ †ŸÖ: ¬Ö¾Ö»ÖÖ®ÖãÃÖÖ¸ ´Ö¬µÖ´Ö-†®Ö®ŸÖÖ®Ö®ŸÖ †®Ö®ŸÖ Æß
Æî Õ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ˆ×»»Ö×ÜÖŸÖ ¤Öê ¸Ö׿ֵÖÖêÛê ×´Ö»ÖÖ®ÖÛúß ×®Ö´®Ö ¸ß×ŸÖ ²Ö›ß
¸Öê“ÖÛú Æî2---
‹Ûú
†Öê¸ ÝÖŸÖÛúÖ»ÖÛúß ÃÖ´ÖÃŸÖ †¾ÖÃÖׯÖÔÞÖß †Öî¸ ˆŸÃÖׯÖÔÞÖß †£ÖÖÔŸÖË Ûú»¯ÖÛúÖ»ÖÛê
ÃÖ´ÖµÖÖêÓÛúÖê ( time-instants) ãÖÖ×¯ÖŸÖ Ûú¸Öê Õ ( ‡®Ö´Öê †®ÖÖפ-ÃÖÖ®ŸÖŸ¾Ö
ÆÖê®ÖêÃÖê †®Ö®ŸÖŸ¾Ö Æî Æß Õ ) ¤æÃÖ¸ß †Öî¸ ×´Ö£µÖÖ¤é媧 •Öß¾Ö¸Ö×¿Ö ¸ÜÖÖê Õ †²Ö
¤Öê®ÖÖêÓ ¸Ö׿ֵÖÖêÓ´ÖêÓÃÖê ‹Ûú ‹Ûú ºþþ¯Ö ²Ö¸Ö²Ö¸ ˆšÖ-ˆšÖ Ûú¸ ±êÛúŸÖê •ÖÖ†Öê Õ
‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ Ûú¸ŸÖê •ÖÖ®ÖêÃÖê ÛúÖ»Ö¸Ö×¿Ö ®Ö™ ÆÖê •ÖÖŸÖß Æî, ×Ûú®ŸÖã,
•Öß¾Ö¸Ö׿ÖÛúÖ †¯ÖÆÖ¸ ®ÖÆßÓ ÆÖêŸÖÖ3 Õ ¬Ö¾Ö»ÖÖ´ÖêÓ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸ÃÖê µÖÆ ×®ÖÂÛúÂÖÔ
×®ÖÛúÖ»ÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ×Ûú ×´Ö£µÖÖ¤é媧 ¸Ö×¿Ö †ŸÖßŸÖ Ûú»¯ÖÖêÓÛê ÃÖ´ÖµÖÖêÓÃÖê †×¬ÖÛú
Æî Õ
µÖÆ ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ¸ß×ŸÖ †Öî¸
Ûãú” ®ÖÆßÓ Ûê¾Ö»Ö ‹ÛúÃÖê-‹ÛúÛúß ÃÖÓÝÖ×ŸÖ ( one-to-one correspondence ) ÛúÖ
¯ÖÎÛúÖ¸ Æî •ÖÖê †Ö¬Öã×®ÖÛú †®Ö®ŸÖ ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛúÖÓêÛê ×ÃÖ¨Ö®ŸÖ ( Theory of infinite
cardinals ) ÛúÖ ´Öæ»ÖÖ¬ÖÖ¸ Æî Õ µÖÆ ÛúÆÖ •ÖÖ ÃÖÛúŸÖÖ Æî ×Ûú ¾ÖÆ ¸ß×ŸÖ ¯Ö׸״֟Ö
ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛúÖêÛê ×´Ö»ÖÖ®Ö´ÖêÓ ³Öß ˆ¯ÖµÖãŒŸÖ ÆÖêŸÖß Æî, †Öî¸ ‡ÃÖß×»ÖµÖê ˆÃÖÛúÖ
†Ö»Ö´²Ö®Ö ¤Öê ²Ö›ß ¯Ö×¸×´ÖŸÖ ¸Ö׿ֵÖÖêÓÃÖê ×´Ö»ÖÖ®ÖÛê ×»ÖµÖê ×»ÖµÖÖ ÝÖµÖÖ £ÖÖ-
‡ŸÖ®Öß ²Ö›ß ¸Ö׿ֵÖÖÓ ×•Ö®ÖÛê †ÓÝÖÖê ( elements ) Ûúß ÝÖÞÖ®ÖÖ ×ÛúÃÖß ÃÖÓܵÖÖŸ´ÖÛú
ÃÖÓ–ÖÖ «Ö¸Ö ®ÖÆßÓ Ûúß •ÖÖ ÃÖÛúß Õ µÖÆ ¤é™ßÛúÖêÞÖ ‡ÃÖ ²ÖÖŸÖÃÖê †Öî¸
--------------------------------
1. ‘ÃÖÓŸÖê
¾Ö‹ ÞÖ¼ÓŸÖÃÃÖ †ÞÖÓŸÖ¢Ö×¾Ö¸ÖêÆÖ¤Öê’ Õ ¬Ö. 3, ¯Öé. 25.
2. ¬Ö¾Ö»ÖÖ 3, ¯Öé. 28.
3. ‘†ÞÖÓŸÖÖÞÖÓŸÖÖ×Æ
†ÖêÃÖׯ¯Ö×ÞÖ-ˆÃÃÖׯ¯ÖÞÖß×Æ ÞÖ †¾Ö×ƸÓ×ŸÖ ÛúÖ»ÖêÞÖ’ Õ ¬Ö. 3, ¯Öé. 28 ÃÖæ¡Ö 3
¤êÜÖÖê ™ßÛúÖ ¯Öé. 28 ‘Ûú¬ÖÓ ÛúÖ»ÖêÞÖ ×´Ö×ÞÖ••ÖÓŸÖê ×´Ö“”Ö‡½ß •Öß¾ÖÖ’?
†Öפ Õ
--------------------------------
³Öß ¯Öã™ ÆÖêŸÖÖ Æî ×Ûú
•Öî®Ö-ÝÖή£ÖÖêÓ´ÖÓê ÃÖ´ÖµÖÛê †¬¾ÖÖ®ÖÛúÖ ³Öß ×®Ö¿“ÖµÖ Ûú¸ פµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî, †Öî¸
‡ÃÖ×»ÖµÖê ‹Ûú Ûú»¯Ö (†¾ÖÃÖׯÖÔÞÖß-ˆŸÃÖׯÖÔÞÖß) Ûê ÛúÖ»Ö¯ÖΤê¿Ö ¯Ö×¸×´ÖŸÖ Æß
ÆÖê®ÖÖ “ÖÖ×ƵÖê, ŒµÖÖêÓ×Ûú, Ûú»¯Ö þֵÖÓ ÛúÖê‡Ô †®Ö®ŸÖ ÛúÖ»Ö´ÖÖ®Ö ®ÖÆßÓ Æî Õ
‡ÃÖ †×®ŸÖ´Ö ´ÖŸÖÛê †®ÖãÃÖÖ¸ •Ö‘Ö®µÖ-¯Ö¸ßŸÖ-†®Ö®ŸÖ, •ÖÖê ×Ûú ¯Ö׸³ÖÖÂÖÖ®ÖãÃÖÖ¸
Ûú»¯ÖÛê ÛúÖ»Ö¯ÖΤê¿ÖÖêÓÛúß ¸Ö׿ÖÃÖê †×¬ÖÛú Æî, ¯Ö×¸×´ÖŸÖ Æß Æî Õ
•ÖîÃÖÖ
×Ûú ‰ú¯Ö¸ ²ÖŸÖÖµÖÖ •ÖÖ “ÖãÛúÖ Æî, ‹ÛúÃÖê-‹ÛúÛúß ÃÖÓÝÖןÖÛúß ¸ß×ŸÖ †®Ö®ŸÖ
ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛúÖêÓÛê †¬µÖµÖ®ÖÛê ×»ÖµÖê ÃÖ²ÖÃÖê ¯ÖÎ²Ö»Ö ÃÖÖ¬Ö®Ö ×ÃÖ¨ Æã‡Ô Æî, †Öî¸
ˆÃÖ ×ÃÖ¨Ö®ŸÖÛê †®¡ÖêÂÖÞÖ ŸÖ£ÖÖ ÃÖ¾ÖÔ-¯ÖÎ£Ö´Ö ¯ÖεÖÖêÝÖÛúÖ ÁÖêµÖ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛúÖê
Æß Æî Õ
ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛê
ˆ¯ÖµÖãÔŒŸÖ ¾ÖÝÖßÔÛú¸ÞÖ´ÖêÓ ´Öã—Öê †®Ö®ŸÖ ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛúÖÓêÛê ×ÃÖ¨Ö®ŸÖÛúÖê
×¾ÖÛú×ÃÖŸÖ Ûú¸®ÖêÛúÖ ¯ÖÎÖ£Ö×´ÖÛú ¯Öε֟®Ö פÜÖÖ‡Ô ¤êŸÖÖ Æî Õ ×Ûú®ŸÖã ‡ÃÖ
×ÃÖ¨Ö®ŸÖ´ÖêÓ Ûãú” ÝÖÓ³Ö߸ ¤ÖêÂÖ ÆîÓ Õ µÖê ¤ÖêÂÖ ×¾Ö¸Öê¬Ö ˆŸ¯Ö®®Ö Ûú¸êÓÝÖê Õ
‡®Ö´ÖêÓÃÖê ‹Ûú ÃÖ- 1 Ûúß ÃÖÓܵÖÖÛúß Ûú»¯Ö®ÖÖÛúÖ Æî, •ÖÆÖÑ ÃÖ †®Ö®ŸÖ Æî †Öî¸ ‹Ûú
¾ÖÝÖÔÛúß ÃÖß´ÖÖÛúÖ ×®ÖµÖÖ´ÖÛú Æî Õ ‡ÃÖÛê ×¾Ö¯Ö¸ßŸÖ •Öî×®ÖµÖÖêÓÛúÖ µÖÆ ×ÃÖ¨Ö®ŸÖ
×Ûú ‹Ûú ÃÖÓܵÖÖ ÃÖ ÛúÖ ¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ ¹ý¯Ö †£ÖÖÔŸÖË ÃÖÃÖ
‹Ûú ®Ö¾Öß®Ö ÃÖÓܵÖÖ ˆŸ¯Ö®®Ö Ûú¸ ¤êŸÖÖ Æî,
µÖ㌟֯ÖæÞÖÔ Æî Õ µÖפ µÖÆ ÃÖ“Ö ÆÖê ×Ûú ¯ÖÎÖ“Öß®Ö •Öî®Ö ÃÖÖ×ÆŸµÖÛúÖ
ˆŸÛéú™-†ÃÖÓܵÖÖŸÖ †®Ö®ŸÖÃÖê ´Öê»Ö
ÜÖÖŸÖÖ Æî, ŸÖÖê †®Ö®ŸÖÛúß ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúß ˆŸ¯Ö×¢Ö´ÖêÓ †Ö¬Öã×®ÖÛú †®Ö®ŸÖ
ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛúÖêÓÛê ×ÃÖ¨Ö®ŸÖ ( Theory of
infinite cardinals ) ÛúÖ Ûãú” ÃÖß´ÖÖ ŸÖÛú ¯Öæ¾ÖÔ×®Ö¹ý¯ÖÞÖ ÆÖê ÝÖµÖÖ Æî Õ
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖ ×¾ÖÛúÖÃÖÛê ˆŸÖ®Öê ¯ÖÎÖ“Öß®Ö ÛúÖ»Ö †Öî¸ ˆÃÖ ¯ÖÎָ״³ÖÛú
×ãÖןִÖêÓ ‡ÃÖ ¯ÖÎÛúÖ¸Ûê ×ÛúÃÖß ³Öß ¯Öε֟®ÖÛúß †ÃÖ±ú»ÖŸÖÖ †¾Ö¿µÖÓ³ÖÖ¾Öß £Öß Õ
†Ö¿“ÖµÖÔ ŸÖÖê µÖÆ Æî ×Ûú ‹êÃÖÖ ¯Öε֟®Ö ×ÛúµÖÖ £ÖÖ Õ
†®Ö®ŸÖÛê
†®ÖêÛú ¯ÖÎÛúÖ¸ÖêÓÛúß ÃÖ¢ÖÖÛúÖê •ÖÖ•ÖÔ Ûê®™¸®Öê ˆ®®ÖßÃÖ¾ÖßÓ ¿ÖŸÖÖײ¤Ûê
´Ö¬µÖÛúÖ»ÖÛê »ÖÝÖ³ÖÝÖ ¯ÖεÖÖêÝÖ-×ÃÖ¨ Ûú¸Ûê פÜÖÖµÖÖ £ÖÖ Õ ˆ®ÆÖêÓ®Öê ÃÖß´ÖÖŸÖߟÖ
( transfinite ) ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖ ×ÃÖ¨ÖÓŸÖ Ã£ÖÖ×¯ÖŸÖ ×ÛúµÖÖ Õ †®Ö®ŸÖ ¸Ö׿ֵÖÖêÓÛê
õÖê¡Ö ( domain ) Ûê ×¾ÖÂÖµÖ´ÖêÓ Ûî®™¸Ûê †®¾ÖêÂÖÞÖÖêÓÃÖê ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖÛê ×»ÖµÖê
‹Ûú ¯Öã™ †Ö¬ÖÖ¸, ÜÖÖê•Ö®ÖêÛê ×»ÖµÖê ‹Ûú ¯ÖÎ²Ö»Ö ÃÖÖ¬Ö®Ö †Öî¸ ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖÓ²ÖÓ¬Öß
†ŸµÖ®ŸÖ ÝÖæœ ×¾Ö“ÖÖ¸ÖêÓÛúÖê šßÛú ¹ý¯ÖÃÖê ¾µÖŒŸÖ Ûú¸®ÖêÛê ×»ÖµÖê ‹Ûú ³ÖÖÂÖÖ
×´Ö»Ö ÝÖ‡Ô Æî Õ ŸÖÖê ³Öß µÖÆ ÃÖß´ÖÖŸÖßŸÖ ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖ ×ÃÖ¨ÖÓŸÖ †³Öß †¯Ö®Öß
¯ÖÎÖ£Ö×´ÖÛú †¾ÖãÖÖ´ÖêÓ Æß Æî Õ †³Öß ŸÖÛú ‡®Ö ÃÖÓܵÖÖ†ÖêÓÛúÖ Ûú»Ö®Ö ( calculus
) ¯ÖÎÖ¯ŸÖ ®ÖÆßÓ ÆÖê ¯ÖÖµÖÖ Æî, †Öî¸ ‡ÃÖ×»ÖµÖê Æ´Ö ˆ®ÆêÓ †³Öß ŸÖÛú ¯Öβֻ֟ÖÖÃÖê
ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖáÖßµÖ ×¾Ö¿»ÖêÂÖÞÖ´ÖêÓ ®ÖÆßÓ ˆŸÖÖ¸ ÃÖÛê ÆîÓ Õ
¿Ö²¤-ÃÖæ“Öß
‘¬Ö¾Ö»ÖÖÛúÖ ÝÖ×ÞÖŸÖ¿ÖÖá֒ ¿ÖßÂÖÔÛÓ
»ÖêÜÖ´ÖÓê •ÖÖê ÝÖ×ÞÖŸÖÃÖê ÃÖ´²Ö®¬Ö ¸ÜÖ®Öê¾ÖÖ»Öê ×¾Ö¿ÖêÂÖ ×Æ®¤ß ¿Ö²¤ÖêÓÛúÖ ˆ¯ÖµÖÖêÝÖ
×ÛúµÖÖ ÝÖµÖÖ Æî ˆ®ÖÛê ÃÖ´Ö¹ý¯Ö †ÝÖÎê•Öß ¿Ö²¤ ×®Ö´®Ö ¯ÖÎÛúÖ¸ ÆîÓ ---
†®Ö®ŸÖ
- Infinite. ‘Ö®Ö´Öæ»Ö - Cube root
†®Ö®ŸÖ
ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛú ×ÃÖ¨Ö®ŸÖ - Theory ‘ÖÖŸÖ ×®ÖÛúÖ»Ö®ÖÖ, 0Ûú¸®ÖÖ
- Raising of
of
infinite cardinals numbers to given powers.
†®ÖãŸÖÖ¯Ö
- Proportion. ‘ÖÖŸÖÖÓÛú - Powers.
†¬ÖÔÛδÖ
- Operation of mediation. ‘ÖÖŸÖÖÓÛú
×ÃÖ¨Ö®ŸÖ - Theory of indices.
†¬ÖÔ“”ê¤
- Number of times a “ÖŸÖã£ÖÔ“”ê¤ - Number of times that a
number
number is halved; mediation; can be
divided by 4.
Logarithm.
†ÃÖÓܵÖÖŸÖ
- Innumerable. ×“Ö®Æ - Trace.
†ÃÖÖ´µÖŸÖÖ
- Inequality. •ÖÖê› - Addition.
†ÓÛú
- Notational place. •µÖÖêןÖÂÖ×¾ÖªÖ
- Astronomy.
†ÓÛúÝÖ×ÞÖŸÖ
- Arithmetic. ×™¯¯ÖÞÖß - Notes.
†ÓÝÖ
-Element סÖÛú“”ê¤ -
Number of times that a number
†Ö¬ÖÖ¸
- Base ( of logarithm ) can be divided by 3.
†Ö×¾ÖÂÛúÖ¸
- Discovery; invention. ס֕µÖÖ -
Radius.
ˆ¢Ö¸Öê¢Ö¸
- Successive ¡Öî¸Ö׿ÖÛú
- Rule of three.
‹Ûúפ¿ÖÖŸ´ÖÛú
- One directional. ¤¿Ö´ÖÖ®Ö - Scale
of ten.
‹ÛúÃÖê
‹ÛÓÛúß ÃÖÝÖ×ŸÖ _ One-to-one ¤Ö¿Ö×´ÖÛúÛδÖ
- Decimal place-value
correspondence notation.
Ûú»ÖÖ
- Art. ׫ÝÖãÞÖÛ뫅 - Operation of duplation.
ÛúÖ»Ö¯ÖΤê¿Ö
- Time-instant. ׫׾ÖßÖÖ¸ÖŸ´ÖÛú - Two-dimensional;
Ûãú¼Ûú
- Indeterminte equation superficial
Ûꮦ¾ÖŸÖßÔ
¾Öé¢Ö - Initial circle;central ×®ÖÝÖ期ÖÛÔ - Abstract reasoning.
Core.
×ÛεÖÖ
- Operation. ×®ÖµÖ´Ö - Rule.
õÖê¡Ö¯ÖΤê¿Ö
- Locations; points or ¯Ö¨×ŸÖ -
Method.
Places.
õÖê¡Ö×´ÖןÖ
- Mensuration. ¯Ö׸ÞÖÖ´Ö - Result.
ÝÖ×ÞÖŸÖ,
0¿ÖÖÃ¡Ö - Mathematics. ¯Ö׸´ÖÖÞÖ - Magnitude.
ÝÖ×ÞÖŸÖ–Ö
- Mathematician. ¯Ö׸´ÖÖÞÖÆß®Ö - Dimensionless.
ÝÖãÞÖÖ
- Multiplication. ¯Ö×¸×´ÖŸÖ ÝÖÞÖ®ÖÖÓÛú - Finite cardinals.
¯ÖæÞÖÖÔÓÛú
- Integer. ×¾Ö–ÖÖ®Ö
- Science.
¯ÖÎ×ÛεÖÖ
- process; operation. ×¾ÖªãŸÛúÞÖ
- protons and electrons.
¯ÖΟָ֟´ÖÛú
†®Ö®ŸÖ †ÖÛúÖ¿Ö - Infinite ×¾Ö×®Ö´ÖµÖ
- Barter and exchange.
Plane area.
¯Öο®Ö
- problem. ×¾Ö¸»Ö®Ö - Distribution; spreading.
¯ÖÎÖ£Ö×´ÖÛú
- Elementary; primitive. ×¾Ö¸»Ö®Ö-¤êµÖ
- Spread and give.
²ÖÖÛúß
- Subtraction. ×¾Ö¿»ÖêÂÖÞÖ
- Analysis.
²Öß•ÖÝÖ×ÞÖŸÖ
- Algebra. ×¾ÖßÖÖ¸ - Details.
²Öê»Ö®ÖÖÛúÖ¸
- Cylindrical. ¾Öé¢Ö - Circle.
³ÖÖÝÖ
- Division ¾µÖÖ•Ö - Interest.
³ÖÖ•ÖÛú
- Divisor. ¾µÖÖÃÖ - Diameter.
׳֮®Ö
- fraction. ¿ÖÓŒ¾ÖÖÛúÖ¸ ׿ÖÜÖÖ - Super incumbent
cone.
´Öæ»Ö,
0´ÖÖî×»ÖÛú ¯ÖÎ×ÛεÖÖ - Fundamental ¿ÖÖÜÖÖ - School.
Operation. ÁÖêÞÖß²Ö¨ Ûú¸®ÖÖ -
Classify.
¸Ö׿Ö
- Aggregate. ÃÖ´ÖÛꮦߵÖ
- Concentric.
¹ýœ
ÃÖÓܵÖÖ - prime. ÃÖ¸»Ö ÃÖ´ÖßÛú¸ÞÖ - Simple equation.
¹ý¯Ö¸êÜÖÖ
- General outline. ÃÖÓÛêŸÖ - Symbol, notation.
»Ö‘Öã׸Œ£Ö
- Logarithm. ÃÖÓÛêŸÖÛ뫅 - Scale of notation.
»Ö²¬Ö
- Quotient. ÃÖÓܵÖÖ - Number.
¾ÖÝÖÔ
- Square. ÃÖÓܵÖÖŸÖ - Numberable.
¾ÖÝÖÔ´Öæ»Ö
- Square root. ÃÖÓܵÖÖŸÖã»µÖ ‘ÖÖŸÖ - Raising of a number
to
¾ÖÝÖÔ¿Ö»ÖÖÛúÖ-Logarithm
of logarithm. its
own power.
¾ÖÝÖÔÃÖ´ÖßÛú¸ÞÖ - Quadratic equation. ÃÖÖŸÖŸµÖ - Continuum.
¾Ö×ÝÖÔŸÖ-ÃÖÓ¾Ö×ÝÖÔŸÖ - Raising a number
ÃÖÖ¬ÖÖ¸ÞÖßÛéúŸÖ - Generalised.
to its own power (ÃÖÓܵÖÖŸÖã»µÖ ‘ÖÖŸÖ) ÃÖß´ÖÖ - Boundary.
¾Ö»ÖµÖ
- Ring.
ÃÖß´ÖÖŸÖßŸÖ ÃÖÓܵÖÖ - Transfinite number.
×¾ÖÛú»Ö®Ö
- Distribution. ÃÖæ¡Ö -
Formula.
--------------------------------------------------------------